בקצרה: טור חזקות סביב [math]\displaystyle{ a }[/math] הוא "פולינום אינסופי" [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n }[/math], וטור טיילור (סביב [math]\displaystyle{ 0 }[/math] קוראים לו גם טור מקלורן) הוא טור חזקות שהמקדמים שלו הם מקדמי טיילור [math]\displaystyle{ a_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} }[/math]. לכל טור חזקות יש רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R }[/math], שמחשבים בדרך כלל בנוסחת המנה [math]\displaystyle{ R=\lim\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| }[/math] או בנוסחת השורש: הטור מתכנס בהחלט כש־[math]\displaystyle{ |x-a|<R }[/math], מתבדר כש־[math]\displaystyle{ |x-a|>R }[/math], ואת שני הקצוות [math]\displaystyle{ x=a\pm R }[/math] בודקים בנפרד, וכך מוצאים את תחום ההתכנסות. בקטע [math]\displaystyle{ (a-R,a+R) }[/math] מותר לגזור ולבצע אינטגרציה איבר איבר, וכך מפתחים טורים חדשים מטורים ידועים ([math]\displaystyle{ e^x }[/math], [math]\displaystyle{ \frac1{1-x} }[/math], [math]\displaystyle{ \ln(1+x) }[/math], [math]\displaystyle{ \arctan x }[/math]) ומחשבים נגזרות גבוהות כמו [math]\displaystyle{ f^{(38)}(0) }[/math] בלי לגזור.
▶ ההרצאה: טורי חזקות (או טיילור, או מקלורן)
הגדרות ומשפטים
יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה אינסוף פעמים ב־[math]\displaystyle{ a }[/math], כלומר הנגזרת [math]\displaystyle{ f^{(n)}(a) }[/math] קיימת לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. טור הטיילור של [math]\displaystyle{ f }[/math] סביב [math]\displaystyle{ a }[/math] הוא טור הפונקציות
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n , }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ f^{(0)}=f }[/math].
במילים: טור הטיילור הוא "פולינום אינסופי" שהמקדמים שלו הם מקדמי טיילור: הסכומים החלקיים שלו הם
פולינומי טיילור של
[math]\displaystyle{ f }[/math] סביב
[math]\displaystyle{ a }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,\dots }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math]. טור הפונקציות
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n }[/math]
נקרא טור חזקות סביב [math]\displaystyle{ a }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ I\subseteq\mathbb R }[/math], תהי [math]\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,\dots }[/math] סדרה ממשית, ותהי [math]\displaystyle{ g }[/math] פונקציה כך ש [math]\displaystyle{ g(t)=\sum_{n=0}^\infty a_nt^n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ t\in I }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ h }[/math] פונקציה. מציבים [math]\displaystyle{ t=h(x) }[/math], ומקבלים שלכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בתחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ h }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ h(x)\in I }[/math] מתקיים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle g\big(h(x)\big)=\sum_{n=0}^\infty a_n\big(h(x)\big)^n . }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,\dots }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math]. רדיוס ההתכנסות [math]\displaystyle{ R }[/math] של טור החזקות [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n }[/math] הוא החסם העליון של קבוצת המרחקים [math]\displaystyle{ |x-a| }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] שבהם הטור מתכנס. אם קבוצה זו אינה חסומה מלעיל, [math]\displaystyle{ R=\infty }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,\dots }[/math] סדרה ממשית, יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\to L }[/math]. אזי רדיוס ההתכנסות של טור החזקות [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n }[/math] הוא [math]\displaystyle{ L }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,\dots }[/math] סדרה ממשית, תהי [math]\displaystyle{ b_0,b_1,b_2,\dots }[/math] סדרה עולה ממש של מספרים שלמים אי-שליליים, יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\infty\} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \sqrt[b_n]{|a_n|}\to L }[/math]. אזי רדיוס ההתכנסות של הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^{b_n} }[/math], כלומר החסם העליון של המרחקים [math]\displaystyle{ |x-a| }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] שבהם הטור מתכנס, הוא [math]\displaystyle{ \frac1L }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \frac10=\infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac1\infty=0 }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,\dots }[/math] סדרה ממשית, יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ R }[/math] רדיוס ההתכנסות של טור החזקות [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n }[/math]. את תחום ההתכנסות של הטור מוצאים כך:
- בכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |x-a|<R }[/math] הטור מתכנס בהחלט;
- בכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |x-a|>R }[/math] הטור מתבדר;
- אם [math]\displaystyle{ 0<R<\infty }[/math], מציבים את שני הקצוות [math]\displaystyle{ x=a-R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x=a+R }[/math], ובודקים את התכנסות טורי המספרים שמתקבלים בעזרת מבחני ההתכנסות.
תהי [math]\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,\dots }[/math] סדרה ממשית, יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ונניח שרדיוס ההתכנסות [math]\displaystyle{ R }[/math] של טור החזקות [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ R>0 }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ r }[/math] מספר ממשי כך ש [math]\displaystyle{ 0<r<R }[/math]. אזי טור החזקות מתכנס במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [a-r,a+r] }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,\dots }[/math] סדרה ממשית, יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ונניח שרדיוס ההתכנסות [math]\displaystyle{ R }[/math] של טור החזקות [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ R>0 }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציית הגבול של טור החזקות. אזי:
- (א) לכל מספר ממשי [math]\displaystyle{ r }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ 0<r<R }[/math], טור הנגזרות וטור האינטגרלים של טור החזקות מתכנסים במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [a-r,a+r] }[/math].
- (ב) לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |x-a|<R }[/math], הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x }[/math] ומתקיים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-a)^{n-1} . }[/math]
- (ג) לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |x-a|<R }[/math] מתקיים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_a^xf(t)\,dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1} . }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,\dots }[/math] סדרה ממשית, יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math], ונניח שרדיוס ההתכנסות [math]\displaystyle{ R }[/math] של טור החזקות [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ R>0 }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה המקיימת [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ |x-a|<R }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה אינסוף פעמים ב־[math]\displaystyle{ a }[/math], ולכל שלם [math]\displaystyle{ n\ge0 }[/math] מתקיים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle a_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} . }[/math]
כלומר, טור החזקות הוא טור הטיילור של [math]\displaystyle{ f }[/math] סביב [math]\displaystyle{ a }[/math].
יהי טור [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n }[/math] עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ 0<R<\infty }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ f(a+R) }[/math] מתכנס אזי [math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to(a+R)^-}f(x)=f(a+R) }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ f(a-R) }[/math] מתכנס אזי [math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to(a-R)^+}f(x)=f(a-R) }[/math].
לא ברשימת הפריטים של 83-114; ארז משתמש בו בפתרון מועד ב' אודיסאה תשפ"ב (דוגמה 5).
טורי מקלורן ידועים
| הפונקציה |
טור המקלורן (טור הטיילור סביב 0) |
תחום ההתכנסות |
איך מקבלים
|
| [math]\displaystyle{ \frac1{1-x} }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+\cdots }[/math] |
[math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] |
הטור ההנדסי
|
| [math]\displaystyle{ \frac1{1+x} }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n=1-x+x^2-\cdots }[/math] |
[math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] |
הצבת [math]\displaystyle{ -x }[/math] בטור ההנדסי
|
| [math]\displaystyle{ e^x }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots }[/math] |
[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] |
משפט 3.1.3
|
| [math]\displaystyle{ \sin x }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots }[/math] |
[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] |
טענה 3.1.4
|
| [math]\displaystyle{ \cos x }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots }[/math] |
[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] |
טענה 3.1.4
|
| [math]\displaystyle{ \ln(1+x) }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots }[/math] |
[math]\displaystyle{ (-1,1] }[/math] |
אינטגרציה איבר איבר של [math]\displaystyle{ \frac1{1+x} }[/math]; בקצה [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] לפי משפט אבל
|
| [math]\displaystyle{ \arctan x }[/math] |
[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5-\cdots }[/math] |
[math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] |
הצבת [math]\displaystyle{ -x^2 }[/math] בטור ההנדסי ואינטגרציה איבר איבר; בקצוות לפי משפט אבל
|
בכל תחום ההתכנסות הטור שווה לפונקציה. בנוסחאון שמצורף למבחנים של תשפ"ה מופיעים מקדמי טיילור [math]\displaystyle{ a_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} }[/math] והטורים של [math]\displaystyle{ e^x }[/math], [math]\displaystyle{ \frac1{1-x} }[/math], [math]\displaystyle{ \sin x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \cos x }[/math]; את השאר מפתחים מהם בהצבה ובגזירה ואינטגרציה איבר איבר, כמו בסרטון. למשל, בהצבת [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] בטור של [math]\displaystyle{ \ln(1+x) }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ \ln2=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots }[/math].
איך פותרים
תחום ההתכנסות של טור חזקות
- מזהים את המרכז ואת המקדמים. כותבים את הטור בצורה [math]\displaystyle{ \sum a_n(x-a)^n }[/math]. ב־[math]\displaystyle{ (x+2)^n }[/math] המרכז הוא [math]\displaystyle{ a=-2 }[/math].
- מחשבים את [math]\displaystyle{ R }[/math]. בנוסחת המנה [math]\displaystyle{ R=\lim\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| }[/math] (טענה 3.2.5), נוחה כשיש עצרות, או בנוסחת השורש (טענה 3.2.6 עם [math]\displaystyle{ b_n=n }[/math]), נוחה כשיש חזקות [math]\displaystyle{ n }[/math]. אם מופיעות רק חלק מהחזקות, למשל [math]\displaystyle{ (x-a)^{2n} }[/math], משתמשים בטענה 3.2.6 עם [math]\displaystyle{ b_n=2n }[/math], או מציבים [math]\displaystyle{ t=(x-a)^2 }[/math].
- פנים וחוץ. הטור מתכנס בהחלט ב־[math]\displaystyle{ (a-R,a+R) }[/math] ומתבדר מחוץ ל־[math]\displaystyle{ [a-R,a+R] }[/math] (שיטה 3.2.7). אם [math]\displaystyle{ R=\infty }[/math] התחום הוא [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], ואם [math]\displaystyle{ R=0 }[/math] הטור מתכנס רק ב־[math]\displaystyle{ x=a }[/math].
- הקצוות. מציבים [math]\displaystyle{ x=a-R }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x=a+R }[/math] ובודקים כל טור מספרים בנפרד במבחנים של פרק 1 (תנאי הכרחי, השוואה, לייבניץ). התשובה היא קטע עם הסוגריים המתאימים, למשל [math]\displaystyle{ [-1,1) }[/math].
פיתוח טור של פונקציה, נגזרת גבוהה וסכום של טור
- מתחילים מטור ידוע (מהטבלה), מציבים בו (שיטה 3.1.5), גוזרים או מבצעים אינטגרציה איבר איבר (מסקנה 3.3.3), ובכל צעד רושמים לאילו [math]\displaystyle{ x }[/math] השוויון נכון.
- באינטגרציה מחשבים [math]\displaystyle{ \int_a^x }[/math] של שני הצדדים, כמו במסקנה 3.3.3 (ג), וכך לא נשאר קבוע לא ידוע.
- אם מחלקים ב־[math]\displaystyle{ x^k }[/math], השוויון נכון רק כש־[math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math]. ב־[math]\displaystyle{ x=0 }[/math] בודקים שהטור נותן את הערך הנתון [math]\displaystyle{ f(0) }[/math].
- כדי לחשב [math]\displaystyle{ f^{(k)}(a) }[/math] מוצאים בטור את המקדם של [math]\displaystyle{ (x-a)^k }[/math], ומשווים אותו ל־[math]\displaystyle{ \frac{f^{(k)}(a)}{k!} }[/math] (טענה 3.3.4). אם החזקה [math]\displaystyle{ (x-a)^k }[/math] אינה מופיעה בטור, [math]\displaystyle{ f^{(k)}(a)=0 }[/math].
- כדי לחשב סכום של טור מספרים, מזהים אותו כטור חזקות בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], מוצאים את פונקציית הגבול ומציבים [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] הוא קצה של תחום ההתכנסות, מחשבים גבול חד־צדדי (משפט אבל).
דוגמאות פתורות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: תחום ההתכנסות של [math]\displaystyle{ \sum\frac{x^n}{n} }[/math], וסכום הטור (בוחן אודיסאה תשפ"ד, שאלה 1)
נביט בטור [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n} }[/math].
(א) חשבו את תחום ההתכנסות של הטור.
(ב) חשבו את [math]\displaystyle{ f\left(\frac12\right) }[/math].
(א) הרדיוס. זה טור חזקות סביב [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] עם [math]\displaystyle{ a_n=\frac1n }[/math]. לפי טענה 3.2.5
- [math]\displaystyle{ \displaystyle R=\lim\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\frac{n+1}{n}=1 , }[/math]
ולכן הטור מתכנס בהחלט ב־[math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] ומתבדר כש־[math]\displaystyle{ |x|>1 }[/math].
הקצוות. עבור [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] מקבלים את הטור ההרמוני [math]\displaystyle{ \sum\frac1n }[/math], שמתבדר. עבור [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^n}{n} }[/math], שמתכנס לפי מבחן לייבניץ, כי [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math] יורדת מונוטונית לאפס. סה"כ תחום ההתכנסות הוא [math]\displaystyle{ [-1,1) }[/math].
(ב) נתחיל מהטור ההנדסי, שמתכנס לכל [math]\displaystyle{ t\in(-1,1) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac1{1-t}=\sum_{n=0}^\infty t^n . }[/math]
זה טור חזקות עם [math]\displaystyle{ R=1 }[/math], ולכן לפי מסקנה 3.3.3 (ג) מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר מ־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] עד כל [math]\displaystyle{ x\in(-1,1) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle -\ln(1-x)=\int_0^x\frac{dt}{1-t}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}=f(x) . }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac12\in(-1,1) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f\left(\frac12\right)=-\ln\frac12=\ln2 }[/math].
דוגמה 2: חזקות זוגיות סביב [math]\displaystyle{ -2 }[/math] (מהסרטון "דוגמא לחישוב תחום התכנסות של טור חזקות")
(א) מצאו את תחום ההתכנסות של הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{4^n}{n}(x+2)^{2n} }[/math].
(ב) האם הטור מתכנס במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [-2.4,-1.6] }[/math]?
(א) המרכז. [math]\displaystyle{ (x+2)^{2n}=\big(x-(-2)\big)^{2n} }[/math], ולכן המרכז הוא [math]\displaystyle{ a=-2 }[/math].
למה לא נוסחת המנה. יש רק חזקות זוגיות של [math]\displaystyle{ x+2 }[/math], כלומר כל מקדם שני הוא אפס, ולכן המנה [math]\displaystyle{ \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| }[/math] של טענה 3.2.5 אינה מוגדרת. נשתמש בטענה 3.2.6 עם [math]\displaystyle{ a_n=\frac{4^n}{n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=2n }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \sqrt[2n]{\frac{4^n}{n}}=\frac{2}{\sqrt{\sqrt[n]{n}}}\to\frac21=2 , }[/math]
כי [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{n}\to1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ R=\frac12 }[/math]: הטור מתכנס בהחלט כש־[math]\displaystyle{ |x+2|<\frac12 }[/math], כלומר ב־[math]\displaystyle{ \left(-\frac52,-\frac32\right) }[/math], ומתבדר כש־[math]\displaystyle{ |x+2|>\frac12 }[/math].
הקצוות. ב־[math]\displaystyle{ x=-2\pm\frac12 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (x+2)^{2n}=\frac1{4^n} }[/math], והטור הוא הטור ההרמוני [math]\displaystyle{ \sum\frac1n }[/math], שמתבדר. סה"כ תחום ההתכנסות הוא [math]\displaystyle{ \left(-\frac52,-\frac32\right) }[/math].
דרך אחרת. נציב [math]\displaystyle{ t=(x+2)^2 }[/math]. לטור החזקות [math]\displaystyle{ \sum\frac{4^n}{n}t^n }[/math] יש לפי טענה 3.2.5 רדיוס [math]\displaystyle{ \lim\frac{4^n/n}{4^{n+1}/(n+1)}=\lim\frac{n+1}{4n}=\frac14 }[/math], ולכן הטור מתכנס כש־[math]\displaystyle{ (x+2)^2<\frac14 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ |x+2|<\frac12 }[/math], ומתבדר כש־[math]\displaystyle{ (x+2)^2>\frac14 }[/math]: אותה תשובה. שימו לב ש־[math]\displaystyle{ \frac14 }[/math] הוא הרדיוס במשתנה [math]\displaystyle{ t }[/math], לא ב־[math]\displaystyle{ x }[/math].
(ב) [math]\displaystyle{ [-2.4,-1.6]=[a-r,a+r] }[/math] עם [math]\displaystyle{ a=-2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ r=0.4 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ 0<0.4<\frac12=R }[/math]. לכן לפי משפט 3.3.2 הטור מתכנס במ"ש בקטע.
דוגמה 3: טור הטיילור של [math]\displaystyle{ \arctan(x^2) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f^{(38)}(0) }[/math] (מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד א', שאלה 1)
נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\arctan(x^2) }[/math].
(א) מצאו את טור הטיילור סביב אפס המתכנס ל־[math]\displaystyle{ f(x) }[/math].
(ב) חשבו את [math]\displaystyle{ f^{(38)}(0) }[/math].
(א) נשים לב ש־[math]\displaystyle{ \big(\arctan x\big)'=\frac1{1+x^2} }[/math], וזה דומה לטור ההנדסי [math]\displaystyle{ \frac1{1-t}=\sum_{n=0}^\infty t^n }[/math], שמתקיים לכל [math]\displaystyle{ t\in(-1,1) }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ t=-x^2 }[/math] (שיטה 3.1.5). ההצבה מותרת כאשר [math]\displaystyle{ -x^2\in(-1,1) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x\in(-1,1) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac1{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n},\qquad x\in(-1,1) . }[/math]
רדיוס ההתכנסות של הטור הזה הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (כש־[math]\displaystyle{ |x|\ge1 }[/math] האיברים אינם שואפים לאפס), ולכן לפי מסקנה 3.3.3 (ג) נבצע אינטגרציה איבר איבר מ־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] עד [math]\displaystyle{ x\in(-1,1) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \arctan x=\arctan x-\arctan0=\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1} . }[/math]
לבסוף נציב [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] במקום [math]\displaystyle{ x }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ x\in(-1,1) }[/math] גם [math]\displaystyle{ x^2\in(-1,1) }[/math], ולכן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \arctan(x^2)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{4n+2},\qquad x\in(-1,1) . }[/math]
השוויון נכון גם ב־[math]\displaystyle{ x=\pm1 }[/math]: שם הטור הוא [math]\displaystyle{ \sum\frac{(-1)^n}{2n+1} }[/math], שמתכנס לפי מבחן לייבניץ, ולפי משפט אבל ערכו [math]\displaystyle{ \arctan1=\frac\pi4 }[/math].
(ב) הטור שמצאנו הוא טור חזקות סביב [math]\displaystyle{ 0 }[/math] עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ 1>0 }[/math], וסכומו [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(-1,1) }[/math]. לכן לפי טענה 3.3.4 המקדמים שלו הם מקדמי טיילור, והמקדם של [math]\displaystyle{ x^{38} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{f^{(38)}(0)}{38!} }[/math]. בטור, החזקה [math]\displaystyle{ x^{38} }[/math] מתקבלת כש־[math]\displaystyle{ 4n+2=38 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ n=9 }[/math], והמקדם שלה הוא [math]\displaystyle{ \frac{(-1)^9}{19}=-\frac1{19} }[/math]. לכן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{f^{(38)}(0)}{38!}=-\frac1{19},\qquad f^{(38)}(0)=-\frac{38!}{19} . }[/math]
דוגמה 4: מחלקים ב־[math]\displaystyle{ x^3 }[/math] ומחשבים [math]\displaystyle{ f^{(11)}(0) }[/math] (מבחן הנדסה תשפ"ה מועד א', שאלה 1)
נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\frac{e^{x^2}-1-x^2}{x^3} & x\ne0\\ 0 & x=0\end{cases} }[/math]
(א) מצאו את טור הטיילור סביב אפס המתכנס ל־[math]\displaystyle{ f(x) }[/math].
(ב) חשבו את [math]\displaystyle{ f^{(11)}(0) }[/math].
(א) לפי משפט 3.1.3, [math]\displaystyle{ e^t=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ t\in\mathbb R }[/math]. נציב [math]\displaystyle{ t=x^2 }[/math], וזה מותר לכל [math]\displaystyle{ x }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle e^{x^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{n!}=1+x^2+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^{2n}}{n!} . }[/math]
לכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math] מותר לחלק ב־[math]\displaystyle{ x^3 }[/math], ובהזזת האינדקס ([math]\displaystyle{ n\to n+2 }[/math]):
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{e^{x^2}-1-x^2}{x^3}=\sum_{n=2}^\infty\frac{x^{2n-3}}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(n+2)!}=\frac{x}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{4!}+\cdots }[/math]
בהצבת [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] הטור שווה ל־[math]\displaystyle{ 0=f(0) }[/math]. סה"כ לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(n+2)!} . }[/math]
(ב) הטור מתכנס לכל [math]\displaystyle{ x }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ R=\infty }[/math], ולכן לפי טענה 3.3.4 זה טור הטיילור של [math]\displaystyle{ f }[/math] סביב [math]\displaystyle{ 0 }[/math], והמקדם של [math]\displaystyle{ x^{11} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{f^{(11)}(0)}{11!} }[/math]. החזקה [math]\displaystyle{ x^{11} }[/math] מתקבלת כש־[math]\displaystyle{ 2n+1=11 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ n=5 }[/math], והמקדם שלה הוא [math]\displaystyle{ \frac1{7!} }[/math]. לכן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle f^{(11)}(0)=\frac{11!}{7!}=8\cdot9\cdot10\cdot11=7920 . }[/math]
מקור:
פתרון המבחן (אותה תשובה,
[math]\displaystyle{ \frac{11!}{7!} }[/math]).
דוגמה 5: סכום של טור מספרים בעזרת טור חזקות ומשפט אבל (מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד ב', שאלה 2א)
חשבו את סכום הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac1{(n+1)(n+2)} }[/math] בעזרת טור חזקות.
נבנה טור חזקות שבנקודה [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] נותן את הטור שלנו. נתחיל מהטור ההנדסי [math]\displaystyle{ \frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n }[/math], [math]\displaystyle{ x\in(-1,1) }[/math], ונבצע אינטגרציה איבר איבר מ־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] עד [math]\displaystyle{ x }[/math] (מסקנה 3.3.3 (ג)):
- [math]\displaystyle{ \displaystyle -\ln(1-x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1},\qquad x\in(-1,1) . }[/math]
גם לטור הזה רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (לפי טענה 3.2.5), ולכן נבצע אינטגרציה נוספת מ־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] עד [math]\displaystyle{ x }[/math]. בצד שמאל, בהצבה [math]\displaystyle{ u=1-t }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \int\ln u\,du=u\ln u-u }[/math], ולכן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_0^x-\ln(1-t)\,dt=\Big[(1-t)\ln(1-t)-(1-t)\Big]_0^x=(1-x)\ln(1-x)+x . }[/math]
סה"כ לכל [math]\displaystyle{ x\in(-1,1) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle (1-x)\ln(1-x)+x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+2)} . }[/math]
הקצה [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]. בצד שמאל אי אפשר להציב [math]\displaystyle{ 1 }[/math], אבל בצד ימין אפשר: הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty\frac1{(n+1)(n+2)} }[/math] מתכנס לפי מבחן ההשוואה, כי [math]\displaystyle{ \frac1{(n+1)(n+2)}\le\frac1{(n+1)^2} }[/math]. רדיוס ההתכנסות הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] הוא קצה התחום, ולפי משפט אבל
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac1{(n+1)(n+2)}=\lim_{x\to1^-}\Big((1-x)\ln(1-x)+x\Big)=0+1=1 , }[/math]
כי [math]\displaystyle{ \lim_{u\to0^+}u\ln u=0 }[/math]. הטור הזה מתחיל מ־[math]\displaystyle{ n=0 }[/math], ולא מ־[math]\displaystyle{ n=1 }[/math] כמו בשאלה: [math]\displaystyle{ 1=\frac12+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(n+1)(n+2)} }[/math], ולכן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac1{(n+1)(n+2)}=\frac12 . }[/math]
בדיקה. [math]\displaystyle{ \frac1{(n+1)(n+2)}=\frac1{n+1}-\frac1{n+2} }[/math], ולכן הסכום החלקי מ־[math]\displaystyle{ n=1 }[/math] עד [math]\displaystyle{ N }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac12-\frac1{N+2}\to\frac12 }[/math] (טור טלסקופי).
מקור:
הפתרון של ארז, הדרך השנייה (בשאלה הטור הוא
[math]\displaystyle{ f(1) }[/math] עבור
[math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{(n+x)(n+1+x)} }[/math]). נוספו כאן הנימוק להתכנסות ב־
[math]\displaystyle{ x=1 }[/math] והגבול
[math]\displaystyle{ u\ln u\to0 }[/math].
טעויות נפוצות
- נוסחת המנה כשחצי מהמקדמים הם אפס. בטור כמו [math]\displaystyle{ \sum\frac{4^n}{n}(x+2)^{2n} }[/math] המקדמים של החזקות האי-זוגיות הם אפס, והמנה [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n+1}} }[/math] אינה מוגדרת. משתמשים בטענה 3.2.6 עם [math]\displaystyle{ b_n=2n }[/math], או מציבים [math]\displaystyle{ t=(x+2)^2 }[/math] (דוגמה 2).
- לשכוח את הקצוות. כש־[math]\displaystyle{ R=1 }[/math] סביב [math]\displaystyle{ 0 }[/math], התחום הוא "כמעט [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math], אבל(!) צריך לבדוק מה קורה בקצוות" (פתרון מבחן הדמה תשפ"ב). ב־[math]\displaystyle{ \sum\frac{x^n}{n} }[/math] התחום הוא [math]\displaystyle{ [-1,1) }[/math].
- להציב בטור ידוע בלי לבדוק את התחום. [math]\displaystyle{ \frac1{1-t}=\sum t^n }[/math] רק כש־[math]\displaystyle{ t\in(-1,1) }[/math]. לכן, למשל, [math]\displaystyle{ \frac1{1-e^x}=\sum_{n=0}^\infty e^{nx} }[/math] רק כש־[math]\displaystyle{ e^x\in(-1,1) }[/math], כלומר כש־[math]\displaystyle{ x<0 }[/math] (מהלוח של ארז).
- "אותו רדיוס" אינו "אותו תחום". לטור הנגזרות יש אותו רדיוס (מסקנה 3.2.4), אבל בקצוות ההתנהגות יכולה להשתנות: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n} }[/math] מתכנס ב־[math]\displaystyle{ x=-1 }[/math], וטור הנגזרות שלו [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty x^{n-1} }[/math] מתבדר שם.
- התכנסות במ"ש בכל [math]\displaystyle{ (a-R,a+R) }[/math]. משפט 3.3.2 מבטיח אותה רק בקטעים [math]\displaystyle{ [a-r,a+r] }[/math] עם [math]\displaystyle{ r<R }[/math]. למשל, [math]\displaystyle{ \sum x^n }[/math] אינו מתכנס במ"ש ב־[math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math]: כל סכום חלקי חסום שם, ואילו הגבול [math]\displaystyle{ \frac1{1-x} }[/math] אינו חסום.
- לחשוב שהטור יכול "לדלג". אם טור חזקות סביב [math]\displaystyle{ 2 }[/math] מתכנס ב־[math]\displaystyle{ x=4 }[/math], הוא מתכנס בהחלט בכל [math]\displaystyle{ x }[/math] שקרוב יותר ל־[math]\displaystyle{ 2 }[/math], למשל ב־[math]\displaystyle{ x=1 }[/math] (טענה 3.2.1). לכן הוא לא יכול להתכנס ב־[math]\displaystyle{ 4 }[/math] ולהתבדר ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math].
שאלות נוספות ממבחנים
- מבחן דמה אודיסאה תשפ"ב, שאלה 1: תחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n+1} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f\left(-\frac13\right) }[/math] · מבחן · פתרון
- מועד ב' אודיסאה תשפ"ב, שאלה 1: [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n+1}}{n!} }[/math], [math]\displaystyle{ f^{(61)}(0) }[/math], [math]\displaystyle{ f(1) }[/math], [math]\displaystyle{ f(2) }[/math] · מבחן · פתרון
- מועד ג' אודיסאה תשפ"ב, שאלה 1: [math]\displaystyle{ \frac{e^x-e^{-x}}{2x} }[/math] (ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] באפס), [math]\displaystyle{ f^{(100)}(0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f^{(101)}(0) }[/math] · מבחן · פתרון
- בוחן אודיסאה תשפ"ג, שאלה 2: לאילו ערכי [math]\displaystyle{ a }[/math] מתכנסים [math]\displaystyle{ \sum\frac{a^n}{n} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sum na^n }[/math] · בוחן · פתרון
- מועד א' אודיסאה תשפ"ג, שאלה 1: [math]\displaystyle{ e^{-x^2} }[/math], [math]\displaystyle{ f^{(38)}(0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f^{(47)}(0) }[/math] · מבחן · פתרון
- מועד ב' אודיסאה תשפ"ג, שאלה 1: [math]\displaystyle{ \frac{e^x-1}{x} }[/math] (ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] באפס), [math]\displaystyle{ f^{(38)}(0) }[/math] · מבחן · פתרון
- מועד א' אודיסאה תשפ"ד, שאלה 1: [math]\displaystyle{ \frac{\sin(x^2)-x^2}{x^6} }[/math] (ו־[math]\displaystyle{ -\frac16 }[/math] באפס), [math]\displaystyle{ f^{(4)}(0) }[/math] · מבחן · פתרון
- מועד ב' אודיסאה תשפ"ד, שאלה 1: [math]\displaystyle{ \frac{e^x-e^{-x}}{x} }[/math], הטור והערך [math]\displaystyle{ a=f(0) }[/math] · מבחן · פתרון
- מועד א' אודיסאה תשפ"ה, שאלה 1: [math]\displaystyle{ \frac{e^{2x}-1-2x}{x} }[/math] (ו־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] באפס), [math]\displaystyle{ f^{(10)}(0) }[/math] · מבחן · פתרון
- מועד ב' הנדסה תשפ"ה, שאלה 1: [math]\displaystyle{ \frac{e^x-e^{-x}}{x} }[/math] (ו־[math]\displaystyle{ 2 }[/math] באפס), [math]\displaystyle{ f^{(12)}(0) }[/math] · מבחן (אין פתרון באתר; התשובה: [math]\displaystyle{ f^{(12)}(0)=\frac2{13} }[/math])
- מועד ב' אודיסאה תשפ"ה, שאלה 1: [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{n!} }[/math], [math]\displaystyle{ f^{(101)}(0) }[/math], והוכחה ש־[math]\displaystyle{ \int_0^xf(t)\,dt=\frac12e^{x^2}-\frac12 }[/math] (המבחן אינו באתר)
- בוחן אודיסאה תשפ"ב, שאלה 3: [math]\displaystyle{ f^{(396)}(0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f^{(397)}(0) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ f(x)=\frac1{(2x+3)^2} }[/math], וסכום הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\frac1{n\cdot2^n} }[/math] (הבוחן אינו באתר)
סרטונים
ראו גם
