בקצרה: בהחלפת משתנים (שינוי קואורדינטות) באינטגרל כפול מציבים [math]\displaystyle{ x=x(u,v) }[/math], [math]\displaystyle{ y=y(u,v) }[/math], שמעבירים תחום [math]\displaystyle{ D' }[/math] על התחום [math]\displaystyle{ D }[/math], ואז [math]\displaystyle{ \iint_D f\,dx\,dy=\iint_{D'}f\big(x(u,v),y(u,v)\big)\,|J|\,du\,dv }[/math], כאשר היעקוביאן [math]\displaystyle{ J }[/math] הוא הדטרמיננטה של מטריצת הנגזרות החלקיות. בוחרים הצבה שהופכת את התחום למלבן (או לתיבה) ומפשטת את הפונקציה: קואורדינטות קוטביות (פולריות) לעיגול, עם [math]\displaystyle{ |J|=r }[/math]; קואורדינטות גליליות לגוף סביב ציר ה־[math]\displaystyle{ z }[/math], עם [math]\displaystyle{ |J|=r }[/math]; קואורדינטות כדוריות לכדור, עם [math]\displaystyle{ |J|=r^2\sin\theta }[/math]. הערך המוחלט נחוץ כי [math]\displaystyle{ |J| }[/math] הוא יחס בין שטחים, והדטרמיננטה היא "פלוס או מינוס" שטח.
▶ ההרצאה: שינוי קואורדינטות והיעקוביאן (הנדסה, 1.6.26, ההמשך ב־5.6.26)
בדף הזה: מעבר לקואורדינטות חדשות. פוביני, תחום סטנדרטי ושינוי סדר האינטגרציה בקואורדינטות [math]\displaystyle{ x,y }[/math]: אינטגרל כפול.
הגדרות ומשפטים
לכל [math]\displaystyle{ r\ge0 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ \theta\in[0,2\pi] }[/math] מתאימים את הנקודה
- [math]\displaystyle{ \displaystyle (x,y)=(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\in\mathbb R^2. }[/math]
ההתאמה הזו נקראת קואורדינטות קוטביות (פולריות).
במילים: [math]\displaystyle{ r }[/math] הוא המרחק של [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] מראשית הצירים, ו־[math]\displaystyle{ \theta }[/math] היא הזווית בין הווקטור [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] לבין הצד החיובי של ציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math], נגד כיוון השעון.
- תהיינה [math]\displaystyle{ x(u,v) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y(u,v) }[/math] פונקציות, ותהי [math]\displaystyle{ (u,v)\in\mathbb R^2 }[/math] נקודה שבה הנגזרות החלקיות [math]\displaystyle{ x_u }[/math], [math]\displaystyle{ x_v }[/math], [math]\displaystyle{ y_u }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y_v }[/math] קיימות. היעקוביאן של ההתאמה [math]\displaystyle{ (u,v)\mapsto\big(x(u,v),y(u,v)\big) }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (u,v) }[/math] הוא הדטרמיננטה
- [math]\displaystyle{ \displaystyle J(u,v)=\det\begin{pmatrix} x_u(u,v) & x_v(u,v)\\ y_u(u,v) & y_v(u,v)\end{pmatrix}, }[/math]
- ו־[math]\displaystyle{ |J(u,v)| }[/math] הוא הערך המוחלט שלה.
- תהיינה [math]\displaystyle{ x(u,v,w) }[/math], [math]\displaystyle{ y(u,v,w) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ z(u,v,w) }[/math] פונקציות, ותהי [math]\displaystyle{ (u,v,w)\in\mathbb R^3 }[/math] נקודה שבה כל הנגזרות החלקיות שלהן קיימות. היעקוביאן של ההתאמה [math]\displaystyle{ (u,v,w)\mapsto(x,y,z) }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (u,v,w) }[/math] הוא הדטרמיננטה
- [math]\displaystyle{ \displaystyle J(u,v,w)=\det\begin{pmatrix} x_u & x_v & x_w\\ y_u & y_v & y_w\\ z_u & z_v & z_w\end{pmatrix}, }[/math]
- כאשר הנגזרות החלקיות מחושבות בנקודה [math]\displaystyle{ (u,v,w) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ |J(u,v,w)| }[/math] הוא הערך המוחלט שלה.
תהי [math]\displaystyle{ D'\subseteq\mathbb R^2 }[/math] קבוצה סגורה וחסומה, ותהיינה [math]\displaystyle{ x(u,v) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y(u,v) }[/math] פונקציות שהנגזרות החלקיות שלהן קיימות ורציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D' }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ D }[/math] התמונה של [math]\displaystyle{ D' }[/math] בהתאמה [math]\displaystyle{ (u,v)\mapsto\big(x(u,v),y(u,v)\big) }[/math].
נניח שקיימת קבוצה [math]\displaystyle{ Z\subseteq D' }[/math] ששטחה אפס, כך שההתאמה חד-חד-ערכית ב־[math]\displaystyle{ D'\setminus Z }[/math], ומתקיים [math]\displaystyle{ J(u,v)\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ (u,v)\in D'\setminus Z }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה רציפה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\iint_{D'}f\big(x(u,v),y(u,v)\big)\cdot|J(u,v)|\,du\,dv. }[/math]
- היעקוביאן של הקואורדינטות הקוטביות מקיים [math]\displaystyle{ |J(r,\theta)|=r }[/math] לכל [math]\displaystyle{ r\ge0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \theta\in[0,2\pi] }[/math].
- תהי [math]\displaystyle{ D'\subseteq\{(r,\theta)\mid r\ge0,\ 0\le\theta\le2\pi\} }[/math] קבוצה סגורה וחסומה, תהי [math]\displaystyle{ D }[/math] התמונה של [math]\displaystyle{ D' }[/math] בקואורדינטות קוטביות, ותהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה רציפה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\iint_{D'}f(r\cos\theta,\,r\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta. }[/math]
לכל [math]\displaystyle{ r\ge0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta\in[0,\pi] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \varphi\in[0,2\pi] }[/math] מתאימים את הנקודה
- [math]\displaystyle{ \displaystyle (x,y,z)=(r\sin\theta\cos\varphi,\ r\sin\theta\sin\varphi,\ r\cos\theta)\in\mathbb R^3. }[/math]
ההתאמה הזו נקראת קואורדינטות כדוריות.
במילים: [math]\displaystyle{ r }[/math] הוא המרחק של [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] מראשית הצירים, [math]\displaystyle{ \theta }[/math] היא הזווית בין הווקטור [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] לבין הצד החיובי של ציר ה־[math]\displaystyle{ z }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \varphi }[/math] היא הזווית בין הווקטור [math]\displaystyle{ (x,y,0) }[/math] לבין הצד החיובי של ציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math], נגד כיוון השעון (כמו בקואורדינטות קוטביות).
תהי [math]\displaystyle{ V'\subseteq\mathbb R^3 }[/math] קבוצה סגורה וחסומה, ותהיינה [math]\displaystyle{ x(u,v,w) }[/math], [math]\displaystyle{ y(u,v,w) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ z(u,v,w) }[/math] פונקציות שהנגזרות החלקיות שלהן קיימות ורציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ V' }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ V }[/math] התמונה של [math]\displaystyle{ V' }[/math] בהתאמה
- [math]\displaystyle{ \displaystyle (u,v,w)\mapsto\big(x(u,v,w),\,y(u,v,w),\,z(u,v,w)\big). }[/math]
נניח שקיימת קבוצה [math]\displaystyle{ Z\subseteq V' }[/math] שנפחה אפס, כך שההתאמה חד-חד-ערכית ב־[math]\displaystyle{ V'\setminus Z }[/math], ומתקיים [math]\displaystyle{ J(u,v,w)\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ (u,v,w)\in V'\setminus Z }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y,z) }[/math] פונקציה רציפה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ V }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \begin{aligned} &\iiint_V f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\ &\qquad=\iiint_{V'}f\big(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)\big)\cdot|J(u,v,w)|\,du\,dv\,dw. \end{aligned} }[/math]
- היעקוביאן של הקואורדינטות הכדוריות מקיים [math]\displaystyle{ |J(r,\theta,\varphi)|=r^2\sin\theta }[/math] לכל [math]\displaystyle{ r\ge0 }[/math], [math]\displaystyle{ \theta\in[0,\pi] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \varphi\in[0,2\pi] }[/math].
- תהי [math]\displaystyle{ V'\subseteq\{(r,\theta,\varphi)\mid r\ge0,\ 0\le\theta\le\pi,\ 0\le\varphi\le2\pi\} }[/math] קבוצה סגורה וחסומה, תהי [math]\displaystyle{ V }[/math] התמונה של [math]\displaystyle{ V' }[/math] בקואורדינטות כדוריות, ותהי [math]\displaystyle{ f(x,y,z) }[/math] פונקציה רציפה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ V }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \begin{aligned} &\iiint_V f\,dx\,dy\,dz\\ &\qquad=\iiint_{V'}f(r\sin\theta\cos\varphi,\,r\sin\theta\sin\varphi,\,r\cos\theta)\cdot r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. \end{aligned} }[/math]
[math]\displaystyle{ x=r\cos\theta }[/math], [math]\displaystyle{ y=r\sin\theta }[/math], [math]\displaystyle{ z=z }[/math], כלומר קואורדינטות קוטביות במישור [math]\displaystyle{ xy }[/math], והגובה [math]\displaystyle{ z }[/math] נשאר כמו שהוא. היעקוביאן מקיים [math]\displaystyle{ |J(r,\theta,z)|=r }[/math] (החישוב בדוגמה 4), ולכן לפי משפט 7.4.2
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iiint_V f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint_{V'}f(r\cos\theta,\,r\sin\theta,\,z)\cdot r\,dr\,d\theta\,dz. }[/math]
הן אינן פריט נפרד בחוברת "הגדרות, טענות ומשפטים", אבל הן ברשימת הנושאים של הקורס ובנוסחאון של המבחן. "על רגל אחת: קואורדינטות גליליות שולחות גליל לתיבה, וקואורדינטות כדוריות שולחות כדור לתיבה."
מאיפה מגיע היעקוביאן, ולמה ערך מוחלט
ההסבר מהלוח (לא הוכחה מלאה): מחלקים את [math]\displaystyle{ D' }[/math] לרשת של מלבנים קטנים בגודל [math]\displaystyle{ \Delta u\,\Delta v }[/math]. ההתאמה שולחת כל מלבן כזה לצורה קטנה ב־[math]\displaystyle{ D }[/math], שהיא בערך מקבילית, ומעליה עומדת מנסרה שגובהה ערך הפונקציה. שטח המקבילית שנוצרת משני וקטורים הוא הערך המוחלט של הדטרמיננטה של המטריצה שהווקטורים הם השורות שלה. כשמחלקים אותו ב־[math]\displaystyle{ \Delta u\,\Delta v }[/math] מקבלים בגבול את [math]\displaystyle{ |J(u,v)| }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ |J| }[/math] הוא "התיקון בין המקבילית למלבן": פי כמה שטח קטן ב־[math]\displaystyle{ D }[/math] גדול מהשטח המתאים ב־[math]\displaystyle{ D' }[/math]. בקואורדינטות קוטביות [math]\displaystyle{ |J|=r }[/math]: מלבן קטן ליד הראשית נשלח לפרוסת עוגה קטנה, ומלבן רחוק מהראשית נשלח לפרוסה גדולה.
למה ערך מוחלט? הדטרמיננטה היא "פלוס או מינוס שטח המקבילית", והסימן תלוי בסדר שבו כותבים את המשתנים. למשל בקואורדינטות קוטביות, אם כותבים את המשתנים בסדר [math]\displaystyle{ (\theta,r) }[/math], הדטרמיננטה יוצאת [math]\displaystyle{ -r }[/math] ולא [math]\displaystyle{ r }[/math]. "ערך מוחלט כי זה פלוס או מינוס, ואני רוצה רק את הפלוס לשטח. זה יכול להיות גרוע, כי יכול להיות שבנקודות מסוימות זה יצא לי מינוס ובנקודות אחרות פלוס." דוגמה קטנה: ההצבה [math]\displaystyle{ x=-u,\ y=v }[/math] מעבירה את הריבוע [math]\displaystyle{ [0,1]\times[0,1] }[/math] לריבוע [math]\displaystyle{ [-1,0]\times[0,1] }[/math], ששטחו [math]\displaystyle{ 1 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ J=-1 }[/math]. בלי ערך מוחלט היינו מקבלים שטח [math]\displaystyle{ -1 }[/math].
ההבדל מהצבה בחדו"א 1. גם שם אי אפשר פשוט להחליף משתנה: [math]\displaystyle{ \int_2^3\cos(x^2)\,dx\ne\int_4^9\cos t\,dt }[/math], כי "חסרה הנגזרת הפנימית", והיעקוביאן ממלא את התפקיד שלה כאן. אבל בהצבה במשתנה אחד רק מציבים את הקצוות, ואילו כאן "התחום משתנה מהותית: עיגול הופך למלבן", וצריך לתרגם את כל התחום.
איך פותרים
איך בוחרים קואורדינטות. למעבר יש שתי מטרות: שהתחום החדש יהיה פשוט ("[math]\displaystyle{ D }[/math] הוא עיגול, [math]\displaystyle{ U }[/math] מלבן, וזה יתרון"), ושגם הפונקציה תהיה פשוטה יותר.
| מה רואים בשאלה |
קואורדינטות |
[math]\displaystyle{ |J| }[/math]
|
| עיגול, טבעת, חצי עיגול; [math]\displaystyle{ x^2+y^2 }[/math] בפונקציה |
קוטביות: [math]\displaystyle{ x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta }[/math] |
[math]\displaystyle{ r }[/math]
|
| גוף סביב ציר ה־[math]\displaystyle{ z }[/math] (גליל, חרוט, בית מעל עיגול); [math]\displaystyle{ x^2+y^2 }[/math] |
גליליות: [math]\displaystyle{ x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z }[/math] |
[math]\displaystyle{ r }[/math]
|
| כדור, חצי כדור, קליפה כדורית; [math]\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 }[/math] |
כדוריות: [math]\displaystyle{ x=r\sin\theta\cos\varphi,\ y=r\sin\theta\sin\varphi,\ z=r\cos\theta }[/math] |
[math]\displaystyle{ r^2\sin\theta }[/math]
|
| אליפסה [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1 }[/math] |
[math]\displaystyle{ x=ar\cos\theta,\ y=br\sin\theta }[/math] (דוגמה 5) |
[math]\displaystyle{ abr }[/math]
|
השלבים
- מתרגמים את התחום. מציבים את ההצבה באי־השוויונים שמגדירים את [math]\displaystyle{ D }[/math]. למשל [math]\displaystyle{ x^2+y^2\le2 }[/math] הופך ל־[math]\displaystyle{ 0\le r\le\sqrt2 }[/math]; [math]\displaystyle{ y\ge0 }[/math] הופך ל־[math]\displaystyle{ 0\le\theta\le\pi }[/math]; ובקואורדינטות כדוריות [math]\displaystyle{ z\ge0 }[/math] הופך ל־[math]\displaystyle{ 0\le\theta\le\frac{\pi}{2} }[/math], כי [math]\displaystyle{ \theta }[/math] נמדדת מציר ה־[math]\displaystyle{ z }[/math]. תמיד [math]\displaystyle{ r\ge0 }[/math], וזווית מקבלת טווח שאורכו לכל היותר [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]: לא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] עד [math]\displaystyle{ 4\pi }[/math], "כי עשיתם סיבוב כפול".
- מציבים בפונקציה. "הדרך המלאה זה במקום [math]\displaystyle{ x }[/math] לרשום [math]\displaystyle{ r\cos\theta }[/math], במקום [math]\displaystyle{ y }[/math] לרשום [math]\displaystyle{ r\sin\theta }[/math]". קיצורים שכדאי לזהות: [math]\displaystyle{ x^2+y^2=r^2 }[/math] בקוטביות ובגליליות, ו־[math]\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=r^2 }[/math] בכדוריות.
- כופלים ב־[math]\displaystyle{ |J| }[/math]: [math]\displaystyle{ r }[/math], [math]\displaystyle{ r }[/math] או [math]\displaystyle{ r^2\sin\theta }[/math]. בהצבה אחרת מחשבים את הדטרמיננטה של מטריצת הנגזרות החלקיות ולוקחים ערך מוחלט.
- מחשבים לפי פוביני. לרוב [math]\displaystyle{ D' }[/math] הוא מלבן או תיבה, ואז כל סדר אפשרי. אם משתנה לא מופיע בפונקציה, האינטגרל לפיו הוא פשוט אורך הקטע (למשל [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]). כש־[math]\displaystyle{ D' }[/math] אינו מלבן, קובעים גבולות כמו בתחום סטנדרטי.
- בדיקת שפיות. שטח ונפח יוצאים חיוביים, ועם [math]\displaystyle{ f=1 }[/math] מקבלים שטחים ונפחים מוכרים: [math]\displaystyle{ \pi R^2 }[/math] לעיגול, [math]\displaystyle{ \frac43\pi R^3 }[/math] לכדור.
דוגמאות פתורות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: הדוגמה מההרצאה
חשבו את [math]\displaystyle{ \iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\} }[/math].
בייצוג סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ \int_{-1}^{1}\left(\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}\,dy\right)dx }[/math], "וזה לא נראה הכי כיף". בקואורדינטות קוטביות התחום הוא המלבן [math]\displaystyle{ D'=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le1,\ 0\le\theta\le2\pi\} }[/math], הפונקציה היא [math]\displaystyle{ \sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=r }[/math], ו־[math]\displaystyle{ |J|=r }[/math]. לכן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy=\int_0^1\left(\int_0^{2\pi}r\cdot r\,d\theta\right)dr=2\pi\int_0^1r^2\,dr=\frac{2\pi}{3}. }[/math]
מקור: לוח הנדסה, שיעורים 15–16, וההרצאה של 5.6.26 (
58:36).
דוגמה 2: נפח של עוגה עגולה (מבחן הנדסה תשפ"ה מועד ב', שאלה 5א)
עוגת גזר נאפתה בתבנית עגולה שבסיסה [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\} }[/math], וגובה העוגה בכל נקודה הוא [math]\displaystyle{ f(x,y)=x^2y^2+1 }[/math]. חשבו את נפח העוגה. (בשאלון נתון: [math]\displaystyle{ \int_0^{4\pi}\sin^2x\,dx=2\pi }[/math].)
[math]\displaystyle{ f>0 }[/math], ולכן הנפח הוא [math]\displaystyle{ \iint_D f }[/math]. התחום עיגול, ולכן עוברים לקואורדינטות קוטביות: [math]\displaystyle{ D'=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le1,\ 0\le\theta\le2\pi\} }[/math], [math]\displaystyle{ f(r\cos\theta,r\sin\theta)=r^4\cos^2\theta\sin^2\theta+1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ |J|=r }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D f=\int_0^{2\pi}\left(\int_0^1\left(r^5\cos^2\theta\sin^2\theta+r\right)dr\right)d\theta=\int_0^{2\pi}\left(\frac{\cos^2\theta\sin^2\theta}{6}+\frac12\right)d\theta. }[/math]
כיוון ש [math]\displaystyle{ \cos\theta\sin\theta=\frac12\sin(2\theta) }[/math], ובהצבה [math]\displaystyle{ t=2\theta }[/math],
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\sin^2\theta\,d\theta=\frac14\int_0^{2\pi}\sin^2(2\theta)\,d\theta=\frac18\int_0^{4\pi}\sin^2t\,dt=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}. }[/math]
לכן הנפח הוא [math]\displaystyle{ \frac16\cdot\frac{\pi}{4}+\frac12\cdot2\pi=\frac{\pi}{24}+\pi=\frac{25\pi}{24} }[/math].
דוגמה 3: נפח של חצי כדור (מבחן אודיסאה תשפ"ד מועד א', שאלה 5)
לעוגה יש תחתית [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\} }[/math] וגובה [math]\displaystyle{ f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2} }[/math]. מצאו את נפח העוגה.
העוגה היא החצי העליון של כדור היחידה, [math]\displaystyle{ V=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\ 0\le z\le\sqrt{1-x^2-y^2}\}=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le1,\ z\ge0\} }[/math], והנפח הוא [math]\displaystyle{ \iiint_V1 }[/math].
בקואורדינטות כדוריות. [math]\displaystyle{ 0\le r\le1 }[/math] (בתוך הכדור), [math]\displaystyle{ 0\le\theta\le\frac{\pi}{2} }[/math] (כי [math]\displaystyle{ z=r\cos\theta\ge0 }[/math]), [math]\displaystyle{ 0\le\varphi\le2\pi }[/math], ו־[math]\displaystyle{ |J|=r^2\sin\theta }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iiint_V1=\int_0^{2\pi}\left(\int_0^{\pi/2}\left(\int_0^1r^2\sin\theta\,dr\right)d\theta\right)d\varphi=\int_0^{2\pi}\left(\int_0^{\pi/2}\frac{\sin\theta}{3}\,d\theta\right)d\varphi=\int_0^{2\pi}\frac13\,d\varphi=\frac{2\pi}{3}. }[/math]
בדיקה בדרך השנייה (נפח כאינטגרל כפול על הגובה, בקואורדינטות קוטביות):
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D\sqrt{1-x^2-y^2}\,dx\,dy=\int_0^{2\pi}\left(\int_0^1\sqrt{1-r^2}\,r\,dr\right)d\theta=2\pi\left[-\frac13(1-r^2)^{3/2}\right]_0^1=\frac{2\pi}{3}, }[/math]
כלומר חצי מנפח כדור היחידה, [math]\displaystyle{ \frac{4\pi}{3} }[/math].
מקור: מועד א' תשפ"ד (אודיסאה), שאלה 5 (
מבחן ·
פתרון); במבחן התבקש גם שטח הפנים. הבדיקה בקוטביות היא החישוב של "חצי נפח הכדור" מלוח ההנדסה.
דוגמה 4: קואורדינטות גליליות (תרגיל 7 של הקורס, שאלה 6א)
חשבו את הנפח של [math]\displaystyle{ V=\{(x,y,z)\mid 1\le x^2+y^2\le4-z^2\} }[/math]: כדור ברדיוס [math]\displaystyle{ 2 }[/math] שקדחו בו חור גלילי ברדיוס [math]\displaystyle{ 1 }[/math] לאורך ציר ה־[math]\displaystyle{ z }[/math].
היעקוביאן של הגליליות. עבור [math]\displaystyle{ x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle J=\det\begin{pmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta & 0\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r. }[/math]
התחום. התנאי הופך ל־[math]\displaystyle{ 1\le r^2\le4-z^2 }[/math]. כדי שיהיה [math]\displaystyle{ r }[/math] כזה צריך [math]\displaystyle{ 4-z^2\ge1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ -\sqrt3\le z\le\sqrt3 }[/math], ואז [math]\displaystyle{ 1\le r\le\sqrt{4-z^2} }[/math]. הזווית חופשית: [math]\displaystyle{ 0\le\theta\le2\pi }[/math].
החישוב. הגבולות של [math]\displaystyle{ r }[/math] תלויים ב־[math]\displaystyle{ z }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ r }[/math] פנימי:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iiint_V1=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\left(\int_0^{2\pi}\left(\int_1^{\sqrt{4-z^2}}r\,dr\right)d\theta\right)dz=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}2\pi\cdot\frac{3-z^2}{2}\,dz=\pi\left[3z-\frac{z^3}{3}\right]_{-\sqrt3}^{\sqrt3}=4\sqrt3\,\pi. }[/math]
מקור:
תרגיל 7 של הקורס, שאלה 6א (בגרסה הממוחשבת של התרגיל, "אינטגרל משולש 1", אותו פתרון עם
[math]\displaystyle{ a }[/math] כללי במקום
[math]\displaystyle{ 4 }[/math]).
דוגמה 5: הצבה שאינה קוטביות: שטח של אליפסה
חשבו את השטח של [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\le1\} }[/math].
נציב [math]\displaystyle{ x=2r\cos\theta,\ y=3r\sin\theta }[/math]. אז [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=r^2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ D }[/math] היא התמונה של המלבן [math]\displaystyle{ D'=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le1,\ 0\le\theta\le2\pi\} }[/math]. ההתאמה חד-חד-ערכית פרט לנקודות שבהן [math]\displaystyle{ r=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ \theta\in\{0,2\pi\} }[/math], ששטחן אפס. היעקוביאן:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle J(r,\theta)=\det\begin{pmatrix}x_r & x_\theta\\ y_r & y_\theta\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}2\cos\theta & -2r\sin\theta\\ 3\sin\theta & 3r\cos\theta\end{pmatrix}=6r\cos^2\theta+6r\sin^2\theta=6r, }[/math]
והוא שונה מאפס פרט ל־[math]\displaystyle{ r=0 }[/math]. לפי משפט 7.3.3
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D1\,dx\,dy=\int_0^{2\pi}\left(\int_0^16r\,dr\right)d\theta=2\pi\cdot3=6\pi. }[/math]
באותה דרך, השטח של אליפסה עם חצאי צירים [math]\displaystyle{ a,b }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \pi ab }[/math] (כאן [math]\displaystyle{ |J|=abr }[/math]).
מקור: הדוגמה נוספה כאן להמחשת הצבה כללית; האליפסה
[math]\displaystyle{ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1 }[/math] מופיעה ב
תרגיל 7 של הקורס (שאלה 9, בהקשר של קיצון). "אם עושים שינוי קואורדינטות אחר, מקבלים יעקוביאן אחר" (
1:02:14).
טעויות נפוצות
- לשכוח את היעקוביאן ולכתוב [math]\displaystyle{ dx\,dy=dr\,d\theta }[/math]. "היינו רוצים ש־[math]\displaystyle{ \iint_D f(x,y)\,dx\,dy=\iint_{D'}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,dr\,d\theta }[/math], אבל זה לא עובד ככה!"
- לשכוח את הערך המוחלט, ולקבל שטח או נפח שלילי בגלל הסדר שבו נכתבו המשתנים.
- להשאיר את התחום הישן: לכתוב [math]\displaystyle{ -1\le r\le1 }[/math], או [math]\displaystyle{ 0\le\theta\le2\pi }[/math] בחצי עיגול. תמיד [math]\displaystyle{ r\ge0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \theta }[/math] נקבעת לפי החלק של המישור שבו נמצא התחום.
- בקואורדינטות כדוריות לבלבל בין [math]\displaystyle{ \theta }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \varphi }[/math]. [math]\displaystyle{ \theta }[/math] נמדדת מהצד החיובי של ציר ה־[math]\displaystyle{ z }[/math] ונעה בין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \pi }[/math], ובה מופיע [math]\displaystyle{ \sin\theta }[/math] שביעקוביאן. בחצי הכדור העליון [math]\displaystyle{ 0\le\theta\le\frac{\pi}{2} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 0\le\varphi\le2\pi }[/math], ולא [math]\displaystyle{ 0\le\varphi\le\pi }[/math].
- בקואורדינטות גליליות [math]\displaystyle{ r }[/math] הוא המרחק מציר ה־[math]\displaystyle{ z }[/math], לא מהראשית: [math]\displaystyle{ x^2+y^2=r^2 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=r^2+z^2 }[/math].
- להשאיר [math]\displaystyle{ x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y }[/math] בפונקציה אחרי ההצבה, או להציב רק בחלק מהמופעים שלהם.
שאלות נוספות ממבחנים
- מבחן אודיסאה תשפ"ג מועד א', שאלה 5 · עוגה מעל העיגול [math]\displaystyle{ x^2+y^2\le2 }[/math] בגובה [math]\displaystyle{ 4-x^2-y^2 }[/math]: הנפח בקוטביות הוא [math]\displaystyle{ 6\pi }[/math] (ובשאלה גם שטח הפנים) · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ד מועד ב', שאלה 5 · עוגה מעל עיגול היחידה בגובה [math]\displaystyle{ 1-x^2 }[/math]: הנפח בקוטביות הוא [math]\displaystyle{ \frac{3\pi}{4} }[/math] · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ה מועד א', שאלה 5א · בניין מעל עיגול היחידה בגובה [math]\displaystyle{ x+2 }[/math]: הנפח הוא [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] · מבחן · פתרון
- מבחן הנדסה תשפ"ה מועד א', שאלה 5א · בניין מעל עיגול היחידה בגובה [math]\displaystyle{ x^2+y^2+2 }[/math]: הנפח הוא [math]\displaystyle{ \frac{5\pi}{2} }[/math] · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד ב', שאלה 6 · משפט גאוס מוביל ל־[math]\displaystyle{ 3\iiint_V(x^2+y^2+z^2) }[/math] על חצי כדור היחידה; בכדוריות [math]\displaystyle{ \frac{6\pi}{5} }[/math] · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד ג', שאלה 6 · משפט גרין מוביל ל־[math]\displaystyle{ 3\iint_D(x^2+y^2) }[/math] על עיגול היחידה; בקוטביות [math]\displaystyle{ \frac{3\pi}{2} }[/math] · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ג מועד א', שאלה 6 · משפט גרין מוביל לשטח של חצי עיגול היחידה; בקוטביות [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math] · מבחן · פתרון
- תרגיל 7 של הקורס, שאלות 6–7 · נפח ומסה בגליליות, אינטגרל בכדוריות (ממבחן של ד"ר הורוביץ), קוטביות על הלמניסקטה [math]\displaystyle{ (x^2+y^2)^2\le x^2-y^2 }[/math], וההצבה [math]\displaystyle{ u=x,\ v=x^2-y^2 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ \iint_D xy\,e^{x^2-y^2} }[/math] (התשובה [math]\displaystyle{ 2e^9-4e }[/math]) · תרגיל
סרטונים
ראו גם
