בקצרה: אינטגרל משטחי מחשבים דרך פרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat s(u,v) }[/math], [math]\displaystyle{ (u,v)\in D }[/math], של המשטח: מסוג ראשון [math]\displaystyle{ \iint_M f\,dS=\iint_D f(\hat s)\,\|\hat s_u\times\hat s_v\|\,du\,dv }[/math] (שטח פנים, מסה), ומסוג שני השטף [math]\displaystyle{ \iint_M\hat F\cdot\hat n\,dS=\pm\iint_D\hat F(\hat s)\cdot(\hat s_u\times\hat s_v)\,du\,dv }[/math], עם סימן לפי הכיוון של הנורמל. משפט גאוס (משפט הדיברגנץ) הופך את השטף דרך מעטפת סגורה של גוף, עם נורמל כלפי חוץ, לאינטגרל משולש של הדיברגנץ [math]\displaystyle{ \nabla\cdot\hat F=P_x+Q_y+R_z }[/math]; כשהמשטח אינו סגור משלימים אותו, למשל ברצפה, ומחסירים את מה שנוסף. משפט סטוקס הופך אינטגרל קווי מסוג שני על שפת משטח לשטף של הרוטור [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}(\hat F)=\nabla\times\hat F }[/math] דרך המשטח, ומשפט גרין הוא המקרה הפרטי של משטח במישור [math]\displaystyle{ xy }[/math].
▶ ההרצאה: אינטגרלים משטחיים (הנדסה, 19.6.26)
הגדרות ומשפטים
יהי [math]\displaystyle{ D\subseteq\mathbb R^2 }[/math] תחום חסום.
- תהיינה [math]\displaystyle{ x(u,v) }[/math], [math]\displaystyle{ y(u,v) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ z(u,v) }[/math] פונקציות שהנגזרות החלקיות שלהן קיימות ורציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ \hat s:D\to\mathbb R^3 }[/math] הפונקציה [math]\displaystyle{ \hat s(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) }[/math]. הקבוצה [math]\displaystyle{ M=\{\hat s(u,v)\mid(u,v)\in D\} }[/math] נקראת משטח, ו־[math]\displaystyle{ \hat s }[/math] נקראת פרמטריזציה של [math]\displaystyle{ M }[/math].
- תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה שהנגזרות החלקיות שלה קיימות ורציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D }[/math]. הפרמטריזציה הטבעית של גרף [math]\displaystyle{ f }[/math], המשטח [math]\displaystyle{ \{(x,y,f(x,y))\mid(x,y)\in D\} }[/math], היא
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \hat s(x,y)=(x,y,f(x,y)) ,\qquad(x,y)\in D . }[/math]
במילים: משטח הוא תמונה של תחום במישור, כמו שמסילה היא תמונה של קטע: למשטח יש שני פרמטרים, ולמסילה פרמטר אחד.
יהי [math]\displaystyle{ M }[/math] משטח עם פרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat s:D\to\mathbb R^3 }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ M }[/math]. האינטגרל המשטחי מסוג ראשון של [math]\displaystyle{ f }[/math] על [math]\displaystyle{ M }[/math] (לפי הפרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat s }[/math]) הוא
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_M f\,dS=\iint_D f(\hat s(u,v))\cdot\|\hat s_u(u,v)\times\hat s_v(u,v)\|\,du\,dv , }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ \hat s_u=(x_u,y_u,z_u) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \hat s_v=(x_v,y_v,z_v) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \times }[/math] היא המכפלה הווקטורית.
במילים: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] היא צפיפות, האינטגרל הוא המסה של המשטח. האינטגרל [math]\displaystyle{ \iint_M 1\,dS }[/math] הוא שטח הפנים של [math]\displaystyle{ M }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ D\subseteq\mathbb R^2 }[/math] תחום חסום, תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה שהנגזרות החלקיות שלה קיימות ורציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ \hat s(x,y)=(x,y,f(x,y)) }[/math], [math]\displaystyle{ (x,y)\in D }[/math], הפרמטריזציה הטבעית של גרף [math]\displaystyle{ f }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ (x,y)\in D }[/math] מתקיים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \hat s_x\times\hat s_y=(-f_x,-f_y,1) ,\qquad\|\hat s_x\times\hat s_y\|=\sqrt{f_x^2+f_y^2+1} , }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ \hat s_x }[/math], [math]\displaystyle{ \hat s_y }[/math] והנגזרות החלקיות של [math]\displaystyle{ f }[/math] מחושבים בנקודה [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math].
שטח הפנים של "עוגה" בנוי משטח הרצפה, שטח הקירות ושטח התקרה. אם הרצפה היא התחום [math]\displaystyle{ D\subseteq\mathbb R^2 }[/math], השפה שלו היא המסילה [math]\displaystyle{ C }[/math], וגובה העוגה מעל הנקודה [math]\displaystyle{ (x,y)\in D }[/math] הוא [math]\displaystyle{ f(x,y)\ge0 }[/math], אזי:
- שטח הרצפה הוא האינטגרל הכפול [math]\displaystyle{ \iint_D 1\,dx\,dy }[/math];
- שטח הקירות הוא האינטגרל הקווי מסוג ראשון [math]\displaystyle{ \int_C f\,dr }[/math];
- שטח התקרה הוא האינטגרל המשטחי מסוג ראשון [math]\displaystyle{ \iint_M 1\,dS }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ M }[/math] גרף [math]\displaystyle{ f }[/math] מעל [math]\displaystyle{ D }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ M }[/math] משטח עם פרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat s:D\to\mathbb R^3 }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] שדה וקטורי במרחב שרכיביו רציפים בכל נקודה של [math]\displaystyle{ M }[/math]. בוחרים כיוון לנורמל [math]\displaystyle{ \hat n }[/math] של [math]\displaystyle{ M }[/math]: בכל נקודה [math]\displaystyle{ \hat s(u,v) }[/math] שבה [math]\displaystyle{ \hat s_u\times\hat s_v\ne(0,0,0) }[/math], הווקטור [math]\displaystyle{ \hat n }[/math] הוא וקטור היחידה בכיוון של [math]\displaystyle{ \hat s_u\times\hat s_v }[/math], או וקטור היחידה בכיוון ההפוך לו, באותה בחירה בכל הנקודות. האינטגרל המשטחי מסוג שני של [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] על [math]\displaystyle{ M }[/math] בכיוון [math]\displaystyle{ \hat n }[/math] הוא
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_M\hat F\cdot\hat n\,dS=\pm\iint_D\hat F(\hat s(u,v))\cdot\big(\hat s_u(u,v)\times\hat s_v(u,v)\big)\,du\,dv , }[/math]
עם הסימן [math]\displaystyle{ + }[/math] אם [math]\displaystyle{ \hat n }[/math] בכיוון של [math]\displaystyle{ \hat s_u\times\hat s_v }[/math], ועם הסימן [math]\displaystyle{ - }[/math] אם [math]\displaystyle{ \hat n }[/math] בכיוון ההפוך.
אם [math]\displaystyle{ M=M_1\cup\dots\cup M_k }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ M_1,\dots,M_k }[/math] משטחים שנפגשים זה עם זה רק לאורך מסילות, ועל כל אחד מהם נבחר כיוון לנורמל, מגדירים את [math]\displaystyle{ \iint_M\hat F\cdot\hat n\,dS }[/math] כסכום האינטגרלים עליהם.
במילים: האינטגרל הוא השטף של [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] דרך [math]\displaystyle{ M }[/math] בכיוון [math]\displaystyle{ \hat n }[/math]: כמות הזרימה דרך המשטח בכיוון הנורמל. רק הרכיב של [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] בכיוון הנורמל תורם לשטף.
מסמנים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right) . }[/math]
יהי [math]\displaystyle{ \hat F=(P,Q,R) }[/math] שדה וקטורי במרחב, ותהי [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] נקודה שבה הנגזרות החלקיות של רכיבי [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] קיימות. הדיברגנץ של [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] הוא
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \nabla\cdot\hat F=P_x+Q_y+R_z , }[/math]
כשהנגזרות החלקיות מחושבות בנקודה [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ V\subseteq\mathbb R^3 }[/math] גוף חסום, שהמעטפת שלו [math]\displaystyle{ M }[/math] מורכבת ממספר סופי של משטחים שנפגשים זה עם זה רק לאורך מסילות, ונבחר את כיוון הנורמל [math]\displaystyle{ \hat n }[/math] של [math]\displaystyle{ M }[/math] כלפי חוץ [math]\displaystyle{ V }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] שדה וקטורי במרחב שהנגזרות החלקיות של רכיביו קיימות ורציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ V\cup M }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_M\hat F\cdot\hat n\,dS=\iiint_V\nabla\cdot\hat F\,dx\,dy\,dz . }[/math]
כדי להשתמש במשפט גאוס, המשטח צריך להיות מעטפת שלמה של גוף. אם המשטח [math]\displaystyle{ M }[/math] אינו מעטפת שלמה, משלימים אותו במשטח [math]\displaystyle{ T }[/math] (למשל, חצי ספירה ברצפה שלה) כך ש [math]\displaystyle{ M }[/math] ו־[math]\displaystyle{ T }[/math] יחד הם המעטפת של גוף [math]\displaystyle{ V }[/math], ומחסירים את מה שנוסף. כשמתקיימות ההנחות של משפט גאוס:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_M\hat F\cdot\hat n\,dS=\iiint_V\nabla\cdot\hat F\,dx\,dy\,dz-\iint_T\hat F\cdot\hat n\,dS , }[/math]
כאשר הנורמל על [math]\displaystyle{ M }[/math] ועל [math]\displaystyle{ T }[/math] מכוון כלפי חוץ [math]\displaystyle{ V }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ \hat F=(P,Q,R) }[/math] שדה וקטורי במרחב, ותהי [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] נקודה שבה הנגזרות החלקיות של רכיבי [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] קיימות. הרוטור של [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] הוא
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \operatorname{rot}(\hat F)=\nabla\times\hat F=\det\begin{pmatrix}\hat x&\hat y&\hat z\\[2pt]\dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\\[6pt]P&Q&R\end{pmatrix}=\big(R_y-Q_z,\,P_z-R_x,\,Q_x-P_y\big) , }[/math]
כשהנגזרות החלקיות מחושבות בנקודה [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math].
הדטרמיננטה מחושבת פורמלית, לפי השורה הראשונה, ו־[math]\displaystyle{ \hat x }[/math], [math]\displaystyle{ \hat y }[/math], [math]\displaystyle{ \hat z }[/math] הם וקטורי היחידה בכיווני הצירים [math]\displaystyle{ x }[/math], [math]\displaystyle{ y }[/math] ו־[math]\displaystyle{ z }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ M }[/math] משטח ששפתו [math]\displaystyle{ C }[/math] היא מסילה סגורה פשוטה, ונבחר כיוון לנורמל [math]\displaystyle{ \hat n }[/math] של [math]\displaystyle{ M }[/math]. נכוון את [math]\displaystyle{ C }[/math] נגד כיוון השעון כשהראש בכיוון [math]\displaystyle{ \hat n }[/math], כלומר כך שכאשר הולכים לאורך [math]\displaystyle{ C }[/math] והראש בכיוון [math]\displaystyle{ \hat n }[/math], המשטח [math]\displaystyle{ M }[/math] נמצא משמאל. יהי [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] שדה וקטורי במרחב שהנגזרות החלקיות של רכיביו קיימות ורציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ M\cup C }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \oint_C\hat F\,d\hat r=\iint_M\operatorname{rot}(\hat F)\cdot\hat n\,dS . }[/math]
במילים: שפת המשטח היא הקו שבקצה המשטח. למשל, השפה של חצי הספירה העליונה היא המעגל שבתחתיתה; השפה של "צדפה" עולה ויורדת, והיא קו במרחב ולא בהכרח במישור; ולספירה שלמה אין שפה. זה ה"קצה" של המשטח, כמו השפה של תחום במישור. (מי שמכיר את ההגדרה המדויקת של שפה של קבוצה: לפיה כל נקודה של משטח במרחב היא נקודת שפה, כי היא קרובה כרצוננו לנקודות שמחוץ למשטח; שפת המשטח היא מושג אחר.)
יהי [math]\displaystyle{ D\subseteq\mathbb R^2 }[/math] תחום חסום ששפתו [math]\displaystyle{ C }[/math] היא מסילה סגורה פשוטה, מכוונת נגד כיוון השעון, ויהי [math]\displaystyle{ \hat F=(P,Q) }[/math] שדה וקטורי במישור כך שהנגזרות החלקיות של [math]\displaystyle{ P }[/math] ושל [math]\displaystyle{ Q }[/math] קיימות ורציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D\cup C }[/math]. נגדיר את המשטח [math]\displaystyle{ M=\{(x,y,0)\mid(x,y)\in D\} }[/math] עם הנורמל [math]\displaystyle{ \hat n=(0,0,1) }[/math], את שפתו [math]\displaystyle{ L=\{(x,y,0)\mid(x,y)\in C\} }[/math] בכיוון של [math]\displaystyle{ C }[/math], ואת השדה [math]\displaystyle{ \hat G(x,y,z)=(P(x,y),Q(x,y),0) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}(\hat G)=(0,0,Q_x-P_y) }[/math], וכן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \oint_L\hat G\,d\hat r=\oint_C\hat F\,d\hat r ,\qquad\iint_M\operatorname{rot}(\hat G)\cdot\hat n\,dS=\iint_D(Q_x-P_y)\,dx\,dy . }[/math]
לכן משפט סטוקס עבור [math]\displaystyle{ M }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \hat G }[/math] הוא משפט גרין עבור [math]\displaystyle{ D }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \hat F }[/math].
במילים: משפט גרין הוא המקרה הפרטי של משפט סטוקס למשטח שמוכל במישור [math]\displaystyle{ xy }[/math].
איך פותרים
- מזהים מה מבקשים. פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] על משטח (שטח פנים, מסה): סוג ראשון. "שטף" או [math]\displaystyle{ \iint_M\hat F\cdot\hat n\,dS }[/math]: סוג שני, ואז חשוב לאיזה צד הנורמל ("בעל רכיב [math]\displaystyle{ z }[/math] חיובי", "כלפי פנים העוגה").
- "העיקר באינטגרל משטחי הוא הפרמטריזציה של המשטח" (בדף הקורס). הפרמטריזציות שחוזרות במבחנים:
- גרף [math]\displaystyle{ z=f(x,y) }[/math] מעל [math]\displaystyle{ D }[/math]: [math]\displaystyle{ \hat s(x,y)=(x,y,f(x,y)) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \hat s_x\times\hat s_y=(-f_x,-f_y,1) }[/math] פונה למעלה (טענה 9.1.3). כש־[math]\displaystyle{ D }[/math] עיגול ברדיוס [math]\displaystyle{ R }[/math], נוח לקחת [math]\displaystyle{ \hat s(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta,f(r\cos\theta,r\sin\theta)) }[/math] על המלבן [math]\displaystyle{ 0\le r\le R }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le\theta\le2\pi }[/math]; אז [math]\displaystyle{ \hat s_r\times\hat s_\theta=r\cdot(-f_x,-f_y,1) }[/math], גם הוא למעלה.
- ספירה ברדיוס [math]\displaystyle{ R }[/math]: [math]\displaystyle{ \hat s(\theta,\varphi)=(R\sin\theta\cos\varphi,R\sin\theta\sin\varphi,R\cos\theta) }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le\theta\le\pi }[/math] (לחצי העליון [math]\displaystyle{ 0\le\theta\le\frac\pi2 }[/math]), [math]\displaystyle{ 0\le\varphi\le2\pi }[/math]; אז [math]\displaystyle{ \hat s_\theta\times\hat s_\varphi=R\sin\theta\cdot\hat s(\theta,\varphi) }[/math] פונה החוצה, ו־[math]\displaystyle{ \|\hat s_\theta\times\hat s_\varphi\|=R^2\sin\theta }[/math].
- קירות מעל מעגל היחידה, עד הגובה [math]\displaystyle{ f }[/math]: [math]\displaystyle{ \hat s(\theta,z)=(\cos\theta,\sin\theta,z) }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le\theta\le2\pi }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le z\le f(\cos\theta,\sin\theta) }[/math]; אז [math]\displaystyle{ \hat s_\theta\times\hat s_z=(\cos\theta,\sin\theta,0) }[/math] פונה החוצה, והנורמה שלו 1.
- רצפה [math]\displaystyle{ z=0 }[/math] מעל עיגול: [math]\displaystyle{ \hat s(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta,0) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \hat s_r\times\hat s_\theta=(0,0,r) }[/math] פונה למעלה.
- סוג ראשון: מציבים בהגדרה 9.1.2 ומחשבים אינטגרל כפול על תחום הפרמטרים. לשטח הפנים של עוגה משתמשים בעיקרון למעלה: רצפה, קירות (אינטגרל קווי מסוג ראשון של הגובה, ראו אינטגרל קווי ומשפט גרין) ותקרה. אבל למסה של קירות שהצפיפות שלהם תלויה ב־[math]\displaystyle{ z }[/math] צריך אינטגרל משטחי על הקירות (דוגמה 2).
- סוג שני: מחשבים את [math]\displaystyle{ \hat s_u\times\hat s_v }[/math] ובודקים אם הוא בכיוון המבוקש; מספיק לבדוק סימן של רכיב אחד, למשל רכיב [math]\displaystyle{ z }[/math]. אם הוא בכיוון ההפוך, לוקחים את הסימן [math]\displaystyle{ - }[/math] בהגדרה 9.1.4.
- לפני חישוב ישיר בודקים את שני המשפטים:
- גאוס, כשהמשטח הוא מעטפת סגורה של גוף [math]\displaystyle{ V }[/math] (כדור, חצי כדור עם רצפה, חרוט עם רצפה, עוגה עם רצפה, קירות וגג) ו־[math]\displaystyle{ \nabla\cdot\hat F }[/math] פשוט: קבוע, או [math]\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 }[/math] שמתאים לקואורדינטות כדוריות. במשפט הנורמל כלפי חוץ; אם ביקשו כלפי פנים, מינוס. אם המשטח אינו מעטפת שלמה (כיפה בלי רצפה), משלימים ומחסירים (עיקרון השלמת המשטח). השטף דרך רצפה במישור [math]\displaystyle{ z=0 }[/math] בדרך כלל קל, כי שם רק הרכיב [math]\displaystyle{ R }[/math] של השדה תורם.
- סטוקס, כשהאינטגרנד הוא רוטור, [math]\displaystyle{ \iint_M\operatorname{rot}(\hat F)\cdot\hat n\,dS }[/math], או כשמבקשים אינטגרל קווי מסוג שני על מסילה סגורה במרחב. מחליפים את המשטח בשפה שלו, או את השפה במשטח נוח כמו עיגול שטוח. הכיוון: הולכים לאורך [math]\displaystyle{ C }[/math] כשהראש בכיוון [math]\displaystyle{ \hat n }[/math], והמשטח משמאל; לנורמל כלפי מעלה זה נגד כיוון השעון במבט מלמעלה. לכן שני משטחים עם אותה שפה, עם נורמלים שמתאימים לאותו כיוון של השפה, נותנים אותו שטף של רוטור.
- אם אף משפט לא מקל, מחשבים ישירות לפי ההגדרה.
- הקשר לגרין: לפי מסקנה 9.2.5, גרין הוא סטוקס למשטח שטוח במישור [math]\displaystyle{ xy }[/math] עם [math]\displaystyle{ \hat n=(0,0,1) }[/math]: אז [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}(\hat G)\cdot\hat n=Q_x-P_y }[/math], והשפה נגד כיוון השעון. גרין עובד במישור; סטוקס עובד גם למשטח ולשפה במרחב.
העשרה (לא בחומר הקורס)
- הדיברגנץ של רוטור הוא 0. אם לרכיבי [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] יש נגזרות חלקיות שניות רציפות, אז
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \nabla\cdot(\nabla\times\hat F)=(R_y-Q_z)_x+(P_z-R_x)_y+(Q_x-P_y)_z=0 , }[/math]
- כי הנגזרות המעורבות מתבטלות בזוגות (כמו במשפט 5.4.2, עכשיו בשלושה משתנים). לכן, לפי גאוס, השטף של רוטור דרך מעטפת סגורה הוא 0. זו עוד דרך לראות למה בסטוקס לא משנה איזה משטח בוחרים לשפה נתונה: שני משטחים עם אותה שפה סוגרים יחד גוף.
דוגמאות פתורות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: שטח הפנים של בית: רצפה, קירות ותקרה (מבחן מועד ב' אודיסאה תשפ"ב, שאלה 5)
יהי בית שתחום הרצפה שלו הוא [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\} }[/math] וגובה התקרה שלו הוא [math]\displaystyle{ f(x,y)=x^2+y^2 }[/math]. מצאו את שטח הפנים הכולל של הבית (רצפה, קירות ותקרה).
רצפה: עיגול היחידה, ששטחו [math]\displaystyle{ \pi }[/math].
קירות: האינטגרל הקווי מסוג ראשון של הגובה על מעגל היחידה. עם [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(\cos t,\sin t) }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le t\le2\pi }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \|\hat r'(t)\|=1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \int_Cf\,dr=\int_0^{2\pi}(\cos^2t+\sin^2t)\cdot1\,dt=2\pi }[/math].
תקרה: [math]\displaystyle{ \hat s(x,y)=(x,y,x^2+y^2) }[/math], [math]\displaystyle{ (x,y)\in D }[/math]. לפי טענה 9.1.3, [math]\displaystyle{ \|\hat s_x\times\hat s_y\|=\sqrt{4x^2+4y^2+1} }[/math]. את האינטגרל הכפול על העיגול מחשבים בקואורדינטות קוטביות, ואחר כך מציבים [math]\displaystyle{ u=1+4r^2 }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_M1\,dS=\iint_D\sqrt{1+4(x^2+y^2)}\,dx\,dy=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\sqrt{1+4r^2}\,r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot\frac18\int_1^5\sqrt u\,du=\frac\pi6\left(5\sqrt5-1\right) . }[/math]
דרך אחרת: הפרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat s(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta,r^2) }[/math] על המלבן [math]\displaystyle{ [0,1]\times[0,2\pi] }[/math] נותנת [math]\displaystyle{ \hat s_r\times\hat s_\theta=(-2r^2\cos\theta,-2r^2\sin\theta,r) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \|\hat s_r\times\hat s_\theta\|=r\sqrt{1+4r^2} }[/math]. זה אותו אינטגרל, והפעם בלי שינוי קואורדינטות ובלי יעקוביאן: ה־[math]\displaystyle{ r }[/math] הגיע מהמכפלה הווקטורית.
סך הכול: [math]\displaystyle{ \pi+2\pi+\frac\pi6\left(5\sqrt5-1\right)=\frac\pi6\left(17+5\sqrt5\right) }[/math].
דוגמה 2: מסה של קירות בגובה משתנה (מבחן מועד א' אודיסאה תשפ"ה, שאלה 5ב)
בסיס הבניין הוא [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\} }[/math], וגובה התקרה נתון על ידי הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x,y)=x+2 }[/math]. כמו כן צפיפות הקירות נתונה על ידי הפונקציה [math]\displaystyle{ g(x,y,z)=5-z }[/math]. חשבו את המסה של קירות הבניין.
הקירות הם משטח [math]\displaystyle{ M }[/math], והמסה היא האינטגרל המשטחי מסוג ראשון [math]\displaystyle{ \iint_Mg\,dS }[/math]. (השטח של הקירות היה אינטגרל קווי של הגובה, אבל כאן הצפיפות תלויה בגובה [math]\displaystyle{ z }[/math], ולכן צריך את המשטח עצמו.)
פרמטריזציה: [math]\displaystyle{ \hat s(\theta,z)=(\cos\theta,\sin\theta,z) }[/math] על התחום [math]\displaystyle{ U=\{(\theta,z)\mid0\le\theta\le2\pi,\ 0\le z\le\cos\theta+2\} }[/math], כי מעל הנקודה [math]\displaystyle{ (\cos\theta,\sin\theta) }[/math] הקיר מגיע לגובה [math]\displaystyle{ f=\cos\theta+2 }[/math].
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \hat s_\theta\times\hat s_z=\det\begin{pmatrix}\hat i&\hat j&\hat k\\-\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}=(\cos\theta,\sin\theta,0),\qquad\|\hat s_\theta\times\hat s_z\|=1 . }[/math]
לכן, עם [math]\displaystyle{ \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi }[/math] (לפי [math]\displaystyle{ \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}2 }[/math]):
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_Mg\,dS=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\cos\theta+2}(5-z)\,dz\,d\theta=\int_0^{2\pi}\left(-\frac{\cos^2\theta}2+3\cos\theta+8\right)d\theta=-\frac\pi2+0+16\pi=\frac{31\pi}2 . }[/math]
דוגמה 3: שטף דרך גג, עם נורמל כלפי פנים (מבחן מועד א' הנדסה תשפ"ה, שאלה 6)
בסיס הבניין הוא [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\} }[/math], וגובה התקרה נתון על ידי [math]\displaystyle{ f(x,y)=x^2+y^2+2 }[/math]. נסמן ב־[math]\displaystyle{ M }[/math] את התקרה. הכוח שהגשם הפעיל בכל נקודה נתון על ידי השדה הווקטורי [math]\displaystyle{ \hat F(x,y,z)=(0,0,z-5) }[/math]. חשבו את השטף של פגיעת הגשם בתקרה, כלומר [math]\displaystyle{ \iint_M\hat F\cdot\hat n\,dS }[/math], כאשר הנורמל מכוון כלפי פנים הבניין.
[math]\displaystyle{ \hat s(x,y)=(x,y,x^2+y^2+2) }[/math], [math]\displaystyle{ (x,y)\in D }[/math]. לפי טענה 9.1.3, [math]\displaystyle{ \hat s_x\times\hat s_y=(-2x,-2y,1) }[/math]. רכיב [math]\displaystyle{ z }[/math] חיובי, כלומר הווקטור פונה למעלה, החוצה מהבניין. ביקשו נורמל כלפי פנים, ולכן לוקחים את הסימן [math]\displaystyle{ - }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_M\hat F\cdot\hat n\,dS=-\iint_D(0,0,x^2+y^2+2-5)\cdot(-2x,-2y,1)\,dx\,dy=-\iint_D(x^2+y^2-3)\,dx\,dy . }[/math]
בקואורדינטות קוטביות:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D(x^2+y^2-3)\,dx\,dy=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(r^2-3)\,r\,dr\,d\theta=2\pi\left(\frac14-\frac32\right)=-\frac{5\pi}2 , }[/math]
ולכן השטף הוא [math]\displaystyle{ \frac{5\pi}2 }[/math].
בדיקת היגיון: על הגג [math]\displaystyle{ z\le4 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ z-5<0 }[/math]: הגשם דוחף למטה, והנורמל שביקשו פונה למטה (פנימה), כך שהשטף חיובי.
מקור:
מועד א' הנדסה תשפ"ה, שאלה 6 (
פתרון; שם הפרמטריזציה היא
[math]\displaystyle{ \hat s(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta,r^2+2) }[/math], והתשובה
[math]\displaystyle{ \frac{10\pi}4 }[/math], אותו מספר).
דוגמה 4: גאוס עם השלמת המשטח: כיפת העוגה (מבחן מועד א' אודיסאה תשפ"ד, שאלה 6)
נסמן ב־[math]\displaystyle{ M }[/math] את שטח הפנים העליון של העוגה: [math]\displaystyle{ M=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid z=\sqrt{1-x^2-y^2}\} }[/math]. עוצמת לחץ האוויר שנוצר בנשיפה מתוארת על ידי השדה הווקטורי [math]\displaystyle{ \hat F(x,y,z)=(1-z)\hat i+(1-z)\hat j+(1-z)\hat k }[/math]. חשבו את השטף של האוויר שפגע בעוגה, כלומר את האינטגרל המשטחי מסוג שני [math]\displaystyle{ \iint_M\hat F\cdot\hat n\,dS }[/math], כאשר הנורמל [math]\displaystyle{ \hat n }[/math] מכוון כלפי פנים העוגה.
[math]\displaystyle{ M }[/math], חצי הספירה העליונה, אינו מעטפת שלמה. משלימים אותו ברצפה [math]\displaystyle{ T=\{(x,y,0)\mid x^2+y^2\le1\} }[/math], ויחד הם המעטפת של חצי הכדור [math]\displaystyle{ V }[/math]. רכיבי השדה פולינומים, ולכן ההנחות של גאוס מתקיימות. עם נורמל כלפי חוץ:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \nabla\cdot\hat F=0+0+(-1)=-1,\qquad\iiint_V\nabla\cdot\hat F\,dx\,dy\,dz=-\iiint_V1\,dx\,dy\,dz=-\frac{2\pi}3 , }[/math]
כי הנפח של חצי כדור היחידה הוא [math]\displaystyle{ \frac{2\pi}3 }[/math].
הרצפה: [math]\displaystyle{ \hat s(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta,0) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \hat s_r\times\hat s_\theta=(0,0,r) }[/math] פונה למעלה, כלומר לתוך [math]\displaystyle{ V }[/math]; כלפי חוץ לוקחים מינוס. על הרצפה [math]\displaystyle{ z=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \hat F=(1,1,1) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_T\hat F\cdot\hat n\,dS=-\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(1,1,1)\cdot(0,0,r)\,dr\,d\theta=-\pi . }[/math]
לפי עיקרון השלמת המשטח, השטף דרך [math]\displaystyle{ M }[/math] כלפי חוץ הוא [math]\displaystyle{ -\frac{2\pi}3-(-\pi)=\frac\pi3 }[/math]. ביקשו כלפי פנים, ולכן התשובה היא [math]\displaystyle{ -\frac\pi3 }[/math].
בדיקה בחישוב ישיר: עם [math]\displaystyle{ \hat s(\theta,\varphi)=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta) }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le\theta\le\frac\pi2 }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le\varphi\le2\pi }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \hat s_\theta\times\hat s_\varphi=\sin\theta\cdot\hat s(\theta,\varphi) }[/math], החוצה. החלק שבו מופיע [math]\displaystyle{ \cos\varphi+\sin\varphi }[/math] מתאפס באינטגרל לפי [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], ונשאר
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2}(1-\cos\theta)\sin\theta\cos\theta\,d\theta\,d\varphi=2\pi\left(\frac12-\frac13\right)=\frac\pi3 }[/math]
כלפי חוץ, כלומר שוב [math]\displaystyle{ -\frac\pi3 }[/math] כלפי פנים.
דוגמה 5: גאוס וסטוקס באותה שאלה: חרוט ורצפה (מבחן דמה אודיסאה תשפ"ב, שאלה 6)
יהיו המשטחים [math]\displaystyle{ M=\{(x,y,z)\mid z=1-\sqrt{x^2+y^2},\ 0\le z\le1\} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ T=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le1,\ z=0\} }[/math], ויהי השדה הווקטורי [math]\displaystyle{ \hat G=\hat i+\hat j+\hat k }[/math].
- (א) חשבו את האינטגרל המשטחי מסוג שני [math]\displaystyle{ \iint_M\hat G\cdot\hat n\,dS }[/math], כאשר לנורמל רכיב [math]\displaystyle{ z }[/math] חיובי.
- (ב) חשבו את האינטגרל המשטחי מסוג שני [math]\displaystyle{ \iint_T\hat G\cdot\hat n\,dS }[/math], כאשר לנורמל רכיב [math]\displaystyle{ z }[/math] שלילי.
גאוס מקשר בין הסעיפים. [math]\displaystyle{ M\cup T }[/math] היא המעטפת של החרוט [math]\displaystyle{ V=\{(x,y,z)\mid0\le z\le1-\sqrt{x^2+y^2}\} }[/math], והנורמלים שביקשו הם בדיוק כלפי חוץ [math]\displaystyle{ V }[/math]: למעלה על החרוט, למטה ברצפה. [math]\displaystyle{ \nabla\cdot\hat G=0 }[/math], ולכן סכום התשובות של (א) ו־(ב) הוא 0, ומספיק לחשב אחת מהן.
סטוקס לסעיף (א). נמצא שדה [math]\displaystyle{ \hat F=(P,Q,R) }[/math] שהרוטור שלו הוא [math]\displaystyle{ \hat G }[/math]: לפי הגדרה 9.2.3 צריך [math]\displaystyle{ (R_y-Q_z,\,P_z-R_x,\,Q_x-P_y)=(1,1,1) }[/math], וניחוש מתאים הוא [math]\displaystyle{ \hat F=(z,x,y) }[/math]. אכן [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}(\hat F)=(1-0,\,1-0,\,1-0)=(1,1,1) }[/math]. השפה של [math]\displaystyle{ M }[/math] היא מעגל היחידה במישור [math]\displaystyle{ z=0 }[/math]; הנורמל פונה למעלה, ולכן הולכים נגד כיוון השעון במבט מלמעלה: [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(\cos t,\sin t,0) }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le t\le2\pi }[/math]. לפי סטוקס:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_M\hat G\cdot\hat n\,dS=\oint_C\hat F\,d\hat r=\int_0^{2\pi}(0,\cos t,\sin t)\cdot(-\sin t,\cos t,0)\,dt=\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi . }[/math]
סעיף (ב): לפי גאוס התשובה היא [math]\displaystyle{ -\pi }[/math]. בדיקה ישירה: [math]\displaystyle{ \hat s(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta,0) }[/math], [math]\displaystyle{ \hat s_r\times\hat s_\theta=(0,0,r) }[/math] פונה למעלה, ולכן מינוס: [math]\displaystyle{ -\int_0^{2\pi}\!\int_0^1(1,1,1)\cdot(0,0,r)\,dr\,d\theta=-\pi }[/math].
מקור:
מבחן דמה אודיסאה תשפ"ב, שאלה 6 (
פתרון). התשובה לסעיף (א) נבדקה גם בחישוב ישיר על החרוט, עם
[math]\displaystyle{ \hat s(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta,1-r) }[/math] ו־
[math]\displaystyle{ \hat s_r\times\hat s_\theta=(r\cos\theta,r\sin\theta,r) }[/math].
טעויות נפוצות
- יעקוביאן בפרמטריזציה. "פרמטריזציה של משטח אינה שינוי קואורדינטות, ואין בה יעקוביאן" (הערה בדף הקורס); הגורם היחיד הוא [math]\displaystyle{ \|\hat s_u\times\hat s_v\| }[/math]. מה שכן מותר: אחרי שהגעתם לאינטגרל כפול על [math]\displaystyle{ D }[/math], לעבור בו לקואורדינטות קוטביות עם [math]\displaystyle{ r }[/math]; זה שינוי קואורדינטות של האינטגרל הכפול (דוגמה 1).
- לשכוח את [math]\displaystyle{ \|\hat s_u\times\hat s_v\| }[/math] בסוג הראשון, או לשים נורמה במקום מכפלה סקלרית בסוג השני.
- סימן הנורמל. לא לבדוק לאן [math]\displaystyle{ \hat s_u\times\hat s_v }[/math] פונה. במבחנים מבקשים "רכיב [math]\displaystyle{ z }[/math] חיובי/שלילי" או "כלפי פנים/חוץ": בודקים את הסימן של רכיב אחד ומתקנים במינוס.
- גאוס בלי מעטפת סגורה: להפעיל את גאוס על כיפה בלי רצפה, או לשכוח להחסיר את השטף דרך הרצפה. גאוס נותן את השטף כלפי חוץ; אם ביקשו כלפי פנים, מינוס (דוגמה 4).
- לבלבל בין גאוס לסטוקס. בגאוס המשטח הוא מעטפת סגורה, בלי שפה, ובצד השני אינטגרל משולש של הדיברגנץ, שהוא פונקציה סקלרית (מספר בכל נקודה). בסטוקס יש למשטח שפה, ובצד השני אינטגרל קווי על השפה; האינטגרנד במשטח הוא הרוטור, שהוא וקטור. לספירה שלמה אין שפה.
- כיוון השפה בסטוקס. הולכים לאורך [math]\displaystyle{ C }[/math] כשהראש בכיוון [math]\displaystyle{ \hat n }[/math], והמשטח משמאל. נורמל כלפי מטה הופך את הכיוון: עם כיוון השעון במבט מלמעלה.
- הרכיב האמצעי של הרוטור הוא [math]\displaystyle{ P_z-R_x }[/math] ולא [math]\displaystyle{ R_x-P_z }[/math] (המינוס בפיתוח הדטרמיננטה): [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}(\hat F)=(R_y-Q_z,\,P_z-R_x,\,Q_x-P_y) }[/math].
- מסה של קירות שהצפיפות שלהם תלויה ב־[math]\displaystyle{ z }[/math] אינה אינטגרל קווי של הגובה; האינטגרל הקווי נותן רק את השטח (דוגמה 2).
שאלות נוספות ממבחנים
- מועד א' אודיסאה תשפ"ב, שאלה 6: סטוקס, [math]\displaystyle{ \iint\operatorname{rot}(\hat F)\cdot\hat n\,dS }[/math] דרך עיגול ודרך חצי ספירה עם אותה שפה, [math]\displaystyle{ \hat F=(x,z,1) }[/math] (שתי התשובות 0). מבחן · פתרון
- מועד ב' אודיסאה תשפ"ב, שאלה 6: גאוס, השטף של [math]\displaystyle{ (x^3,y^3,z^3) }[/math] דרך הרצפה ודרך הכיפה של חצי כדור היחידה (תשובות: 0 ו־[math]\displaystyle{ \frac{6\pi}5 }[/math]). מבחן · פתרון
- מועד א' אודיסאה תשפ"ג, שאלה 5: עוגה בגובה [math]\displaystyle{ 4-x^2-y^2 }[/math] מעל עיגול ברדיוס [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] (שטח פנים: [math]\displaystyle{ \left(\frac{19}3+4\sqrt2\right)\pi }[/math], נפח: [math]\displaystyle{ 6\pi }[/math]). מבחן · פתרון
- מועד ב' אודיסאה תשפ"ג, שאלה 5: עוגה עם תקרה מישורית [math]\displaystyle{ x+y+\sqrt2 }[/math] (שטח פנים: [math]\displaystyle{ (1+2\sqrt2+\sqrt3)\pi }[/math]). מבחן · פתרון
- מועד א' אודיסאה תשפ"ד, שאלה 5: עוגה בצורת חצי כדור, שטח הפנים בקואורדינטות כדוריות ([math]\displaystyle{ 3\pi }[/math]) והנפח ([math]\displaystyle{ \frac{2\pi}3 }[/math]). מבחן · פתרון
- מועד ב' אודיסאה תשפ"ד, שאלה 6: שטף דרך הגרף [math]\displaystyle{ z=1-x^2 }[/math] עם נורמל כלפי פנים (תשובה: [math]\displaystyle{ -\frac{3\pi}4 }[/math]). מבחן · פתרון
- מועד א' אודיסאה תשפ"ה, שאלה 6: שטף הגשם דרך גג מישורי [math]\displaystyle{ z=x+2 }[/math] (תשובה: [math]\displaystyle{ 3\pi }[/math]). מבחן · פתרון
- מועד ב' הנדסה תשפ"ה, שאלה 6: גאוס על כל המעטפת של עוגה בגובה [math]\displaystyle{ x^2y^2+1 }[/math], [math]\displaystyle{ \hat F=(x,y,z) }[/math] (תשובה: [math]\displaystyle{ 3\cdot\frac{25\pi}{24}=\frac{25\pi}8 }[/math]). מבחן (אין פתרון באתר)
- מועד ב' אודיסאה תשפ"ה, שאלה 5: מסת התקרה [math]\displaystyle{ z=x+2 }[/math] ומסת הקירות עם צפיפות [math]\displaystyle{ 5-z }[/math] (תשובות: [math]\displaystyle{ 3\sqrt2\,\pi }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{31\pi}2 }[/math]). המבחן אינו באתר.
- תרגיל 9 (תשע"ו): אינטגרלים משטחיים, גאוס וסטוקס (בלי פתרונות).
סרטונים
ראו גם
