בקצרה: נגזרת חלקית של פונקציה בשני משתנים היא נגזרת רגילה לפי משתנה אחד, כשהמשתנה השני קבוע: כדי לחשב את [math]\displaystyle{ f_x }[/math] מתייחסים ל־[math]\displaystyle{ y }[/math] כאל קבוע וגוזרים לפי [math]\displaystyle{ x }[/math], וכדי לחשב את [math]\displaystyle{ f_y }[/math] להפך. שתי הנגזרות החלקיות יחד הן הגרדיאנט [math]\displaystyle{ \nabla f=(f_x,f_y) }[/math], שמצביע לכיוון העלייה התלולה ביותר, ומהן מקבלים את הנגזרת הכיוונית [math]\displaystyle{ f'_{\hat v}=\nabla f\cdot\frac{\hat v}{\|\hat v\|} }[/math] ואת משוואת המישור המשיק. אבל קיום הנגזרות החלקיות עדיין אינו מבטיח שהפונקציה דיפרנציאבילית (נראית מקרוב כמו מישור), ואת הנוסחאות האלה ואת כלל השרשרת בשני משתנים מפעילים רק על פונקציה דיפרנציאבילית, למשל צירוף של פונקציות אלמנטריות בנקודה שבה כל הרכיבים שלו גזירים ([math]\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2} }[/math], למשל, אינה דיפרנציאבילית בראשית).
▶ ההרצאה: דיפרנציאביליות ונגזרות חלקיות (הנדסה, 8.5.26)
הגדרות ומשפטים
נגזרות חלקיות
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה ותהי [math]\displaystyle{ (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 }[/math].
- אם הגבול הבא קיים וסופי, הוא נקרא הנגזרת החלקית של [math]\displaystyle{ f }[/math] לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle f_x(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h} . }[/math]
- אם הגבול הבא קיים וסופי, הוא נקרא הנגזרת החלקית של [math]\displaystyle{ f }[/math] לפי [math]\displaystyle{ y }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle f_y(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h} . }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה ותהי [math]\displaystyle{ (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 }[/math].
- תהי [math]\displaystyle{ g_1(x)=f(x,y_0) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f_x(x_0,y_0) }[/math] קיימת אם ורק אם [math]\displaystyle{ g_1 }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], ובמקרה זה [math]\displaystyle{ f_x(x_0,y_0)=g_1'(x_0) }[/math].
- תהי [math]\displaystyle{ g_2(y)=f(x_0,y) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f_y(x_0,y_0) }[/math] קיימת אם ורק אם [math]\displaystyle{ g_2 }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ y_0 }[/math], ובמקרה זה [math]\displaystyle{ f_y(x_0,y_0)=g_2'(y_0) }[/math].
במילים: כדי לחשב את [math]\displaystyle{ f_x(x_0,y_0) }[/math] מקבעים [math]\displaystyle{ y=y_0 }[/math] וגוזרים לפי [math]\displaystyle{ x }[/math], בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], את הפונקציה במשתנה אחד שמתקבלת. כדי לחשב את [math]\displaystyle{ f_y(x_0,y_0) }[/math] מקבעים [math]\displaystyle{ x=x_0 }[/math] וגוזרים לפי [math]\displaystyle{ y }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ y_0 }[/math].
דיפרנציאביליות ומישור משיק
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה ותהי [math]\displaystyle{ (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 }[/math]. אומרים ש [math]\displaystyle{ f }[/math] דיפרנציאבילית (גזירה) בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] אם קיים מישור [math]\displaystyle{ g(x,y)=Ax+By+C }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ A,B,C\in\mathbb R }[/math], כך שההפרש בין השיפוע של [math]\displaystyle{ f }[/math] לבין השיפוע של [math]\displaystyle{ g }[/math] מ־[math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] אל [math]\displaystyle{ (x_0+h_1,y_0+h_2) }[/math] שואף ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ (h_1,h_2)\to(0,0) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \begin{aligned} \lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\Bigg(&\frac{f(x_0+h_1,y_0+h_2)-f(x_0,y_0)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}\\ &-\frac{g(x_0+h_1,y_0+h_2)-g(x_0,y_0)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}\Bigg)=0 \end{aligned} }[/math]
כלומר
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f(x_0+h_1,y_0+h_2)-f(x_0,y_0)-Ah_1-Bh_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0 . }[/math]
במילים: מקרוב, [math]\displaystyle{ f }[/math] נראית כמו מישור: בכל כיוון, שיפועי המיתרים של [math]\displaystyle{ f }[/math] מתקרבים לשיפועי המיתרים של המישור [math]\displaystyle{ g }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ A,B,C\in\mathbb R }[/math] כך שהמישור [math]\displaystyle{ g(x,y)=Ax+By+C }[/math] מקיים את התנאי בהגדרה 5.1.3. אזי הנגזרות החלקיות [math]\displaystyle{ f_x(x_0,y_0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y(x_0,y_0) }[/math] קיימות, ומתקיים [math]\displaystyle{ A=f_x(x_0,y_0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ B=f_y(x_0,y_0) }[/math].
ההבדל מנגזרת רגילה. במשתנה אחד, פונקציה שיש לה נגזרת בנקודה נראית מקרוב כמו הישר המשיק. בשני משתנים [math]\displaystyle{ f_x }[/math] מודדת רק את השיפוע בכיוון ציר [math]\displaystyle{ x }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f_y }[/math] רק בכיוון ציר [math]\displaystyle{ y }[/math]. דיפרנציאביליות דורשת שבכל הכיוונים יחד הפונקציה תיראה מקרוב כמו מישור, ואז זה בהכרח המישור ששיפועיו [math]\displaystyle{ f_x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y }[/math] (טענה 5.1.6); אבל ייתכן ששתי הנגזרות החלקיות קיימות והפונקציה אינה דיפרנציאבילית (דוגמה 3). צירוף של פונקציות אלמנטריות דיפרנציאבילי בכל נקודה שיש לה סביבה בתחום ההגדרה שלו, ושבה כל פונקציה אלמנטרית בבנייה שלו מופעלת על ערך שבו היא גזירה (ההערה בדף הקורס); בנקודות אחרות, למשל בפונקציה מפוצלת, בודקים לפי ההגדרה.
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 }[/math]. אזי משוואת המישור המשיק לגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] היא
- [math]\displaystyle{ \displaystyle z-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0) . }[/math]
גרדיאנט ונגזרת כיוונית
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה ותהי [math]\displaystyle{ (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 }[/math] כך שהנגזרות החלקיות [math]\displaystyle{ f_x(x_0,y_0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y(x_0,y_0) }[/math] קיימות. הגרדיאנט של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] הוא הווקטור
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \nabla f(x_0,y_0)=\big(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)\big) . }[/math]
הנגזרת הכיוונית [math]\displaystyle{ f'_{\hat v}(x_0,y_0) }[/math] היא השיפוע של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] בכיוון הווקטור [math]\displaystyle{ \hat v }[/math] (הגדרה 5.2.1: גבול שיפועי המיתרים בכיוון זה). הנגזרות החלקיות הן המקרים [math]\displaystyle{ \hat v=(1,0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \hat v=(0,1) }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ \hat v\in\mathbb R^2 }[/math] וקטור כך ש [math]\displaystyle{ \hat v\ne(0,0) }[/math]. אזי הנגזרת הכיוונית [math]\displaystyle{ f'_{\hat v}(x_0,y_0) }[/math] קיימת, ומתקיים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle f'_{\hat v}(x_0,y_0)=\big(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)\big)\cdot\frac{\hat v}{\|\hat v\|} . }[/math]
במילים: השיפוע של פונקציה דיפרנציאבילית בכיוון [math]\displaystyle{ \hat v }[/math] שווה לשיפוע של המישור המשיק בכיוון זה.
למה הגרדיאנט מצביע לכיוון העלייה התלולה ביותר? כש־[math]\displaystyle{ \nabla f\ne(0,0) }[/math], לפי טענה 5.2.2 [math]\displaystyle{ f'_{\hat v}=\nabla f\cdot\frac{\hat v}{\|\hat v\|}=\|\nabla f\|\cos\theta }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \theta }[/math] היא הזווית בין [math]\displaystyle{ \nabla f }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \hat v }[/math] (טענה 5.2.4). הביטוי מקסימלי כש־[math]\displaystyle{ \cos\theta=1 }[/math], כלומר בכיוון הגרדיאנט, מינימלי בכיוון ההפוך, ומתאפס בכיוון המאונך:
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \nabla f(x_0,y_0)\ne(0,0) }[/math]. אזי לכל וקטור [math]\displaystyle{ \hat v\in\mathbb R^2 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \hat v\ne(0,0) }[/math]:
- (א) [math]\displaystyle{ f'_{\hat v}(x_0,y_0)\le\|\nabla f(x_0,y_0)\| }[/math], ושוויון מתקיים אם ורק אם [math]\displaystyle{ \hat v }[/math] בכיוון הגרדיאנט, כלומר [math]\displaystyle{ \hat v=c\,\nabla f(x_0,y_0) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ c>0 }[/math] כלשהו.
- (ב) [math]\displaystyle{ f'_{\hat v}(x_0,y_0)\ge-\|\nabla f(x_0,y_0)\| }[/math], ושוויון מתקיים אם ורק אם [math]\displaystyle{ \hat v }[/math] בכיוון המנוגד לגרדיאנט, כלומר [math]\displaystyle{ \hat v=c\,\nabla f(x_0,y_0) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ c<0 }[/math] כלשהו.
- (ג) [math]\displaystyle{ f'_{\hat v}(x_0,y_0)=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \hat v }[/math] מאונך לגרדיאנט, כלומר [math]\displaystyle{ \hat v\cdot\nabla f(x_0,y_0)=0 }[/math].
במילים: הגרדיאנט מצביע בתחום לכיוון העלייה התלולה ביותר, ואורכו הוא השיפוע המקסימלי; מינוס הגרדיאנט הוא כיוון הירידה התלולה ביותר; בכיוון המאונך לגרדיאנט הנגזרת מתאפסת.
כלל השרשרת
יהי [math]\displaystyle{ t_0\in\mathbb R }[/math], תהיינה [math]\displaystyle{ x(t) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y(t) }[/math] פונקציות גזירות ב־[math]\displaystyle{ t_0 }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה [math]\displaystyle{ (x(t_0),y(t_0)) }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ h(t)=f(x(t),y(t)) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ h }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ t_0 }[/math] ומתקיים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle h'(t_0)=f_x\big(x(t_0),y(t_0)\big)\,x'(t_0)+f_y\big(x(t_0),y(t_0)\big)\,y'(t_0) . }[/math]
נגזרות חלקיות מסדר שני
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה. הנגזרות החלקיות מסדר שני של [math]\displaystyle{ f }[/math] הן הנגזרות החלקיות של הפונקציות [math]\displaystyle{ f_x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y }[/math], ומסמנים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle f_{xx}=(f_x)_x,\qquad f_{xy}=(f_x)_y,\qquad f_{yx}=(f_y)_x,\qquad f_{yy}=(f_y)_y , }[/math]
בכל נקודה שבה הנגזרת החלקית שבאגף ימין קיימת. ב־[math]\displaystyle{ f_{xy} }[/math] גוזרים קודם לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] ואחר כך לפי [math]\displaystyle{ y }[/math], וב־[math]\displaystyle{ f_{yx} }[/math] קודם לפי [math]\displaystyle{ y }[/math] ואחר כך לפי [math]\displaystyle{ x }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה, תהי [math]\displaystyle{ (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ U }[/math] סביבה של [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math]. נניח ש [math]\displaystyle{ f }[/math] דיפרנציאבילית בכל נקודה של [math]\displaystyle{ U }[/math], ושהנגזרות החלקיות [math]\displaystyle{ f_{xy} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_{yx} }[/math] קיימות ורציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ U }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ (x,y)\in U }[/math].
הערה: אלה תנאים מספיקים, והם מה שנדרש בהוכחה דרך משפט גרין. השוויון בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] נכון גם בתנאים חלשים יותר: מספיק ש [math]\displaystyle{ f_{xy} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_{yx} }[/math] קיימות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ U }[/math] ורציפות בנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] (משפט שוורץ, בהוכחה אחרת שלא ראינו).
בעזרת הנגזרות מסדר שני מגדירים את פולינום טיילור מסדר שני בשני משתנים, הקירוב [math]\displaystyle{ f(x,y)\approx P_2(x,y) }[/math] ליד נקודה, שממנו נובע מבחן הנגזרת השנייה לקיצון.
איך פותרים
- נגזרת חלקית בנוסחה: כדי לחשב את [math]\displaystyle{ f_x }[/math] מתייחסים ל־[math]\displaystyle{ y }[/math] כאל קבוע וגוזרים לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] בכללי הגזירה הרגילים, ולהפך עבור [math]\displaystyle{ f_y }[/math] (מסקנה 5.1.5). למשל, עבור [math]\displaystyle{ f=x^2y^3+\sin(xy) }[/math]: [math]\displaystyle{ f_x=2xy^3+y\cos(xy) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y=3x^2y^2+x\cos(xy) }[/math].
- נגזרת חלקית בנקודה מיוחדת (פונקציה מפוצלת, שורש של ביטוי שמתאפס): מציבים [math]\displaystyle{ y=y_0 }[/math] וגוזרים את הפונקציה במשתנה אחד שמתקבלת, או מחשבים את הגבול שבהגדרה 5.1.4. לא גוזרים את הערך בנקודה.
- דיפרנציאביליות בנקודה מיוחדת: מחשבים [math]\displaystyle{ A=f_x(x_0,y_0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ B=f_y(x_0,y_0) }[/math] (אם אחת מהן אינה קיימת, הפונקציה אינה דיפרנציאבילית, לפי טענה 5.1.6), ובודקים אם הגבול בהגדרה 5.1.3 הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]: להפרכה מספיק מסלול אחד שלאורכו הביטוי שואף לערך אחר, ולהוכחה משתמשים ב"חצי סנדוויץ' על הרצפה" (שיטה 4.1.9).
- מישור משיק: מחשבים את [math]\displaystyle{ f(x_0,y_0) }[/math], [math]\displaystyle{ f_x(x_0,y_0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y(x_0,y_0) }[/math] ומציבים במסקנה 5.1.8.
- נגזרת כיוונית וכיוון העלייה: מחשבים את [math]\displaystyle{ \nabla f(x_0,y_0) }[/math]. הנגזרת בכיוון [math]\displaystyle{ \hat v }[/math] היא [math]\displaystyle{ \nabla f\cdot\frac{\hat v}{\|\hat v\|} }[/math] (מחלקים באורך של [math]\displaystyle{ \hat v }[/math]). כיוון העלייה התלולה ביותר הוא [math]\displaystyle{ \nabla f }[/math], והשיפוע בו הוא [math]\displaystyle{ \|\nabla f\| }[/math]; כיוון הירידה התלולה ביותר הוא [math]\displaystyle{ -\nabla f }[/math]; בכיוון המאונך לגרדיאנט הנגזרת הכיוונית היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
- כלל השרשרת: עבור [math]\displaystyle{ h(t)=f(x(t),y(t)) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ h'=f_x\cdot x'+f_y\cdot y' }[/math], והנגזרות החלקיות מחושבות בנקודה [math]\displaystyle{ (x(t),y(t)) }[/math]. בפונקציה של שני משתנים, כמו [math]\displaystyle{ h(x,y)=u\big(a(x,y),b(x,y)\big) }[/math], מקבעים את [math]\displaystyle{ y }[/math] וגוזרים לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] באותו כלל: [math]\displaystyle{ h_x=u_x(a,b)\cdot a_x+u_y(a,b)\cdot b_x }[/math].
- נגזרות מעורבות: [math]\displaystyle{ f_{xy}=(f_x)_y }[/math], כלומר קודם לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] ואחר כך לפי [math]\displaystyle{ y }[/math]. כשהנגזרות מסדר שני רציפות, [math]\displaystyle{ f_{xy}=f_{yx} }[/math] (משפט 5.4.2), וזו בדיקה טובה לחישוב.
דוגמאות פתורות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: נגזרות חלקיות ומישור משיק (מבחן אודיסאה תשפ"ג מועד א', שאלה 4א)
נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x,y)=x^2+2xy+y^3 }[/math]. מצאו את משוואת המישור המשיק לגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] היא פולינום (צירוף של פונקציות אלמנטריות), ולכן היא דיפרנציאבילית בכל נקודה, והמישור המשיק מוגדר. בגזירה לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] המשתנה [math]\displaystyle{ y }[/math] קבוע, ובגזירה לפי [math]\displaystyle{ y }[/math] המשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] קבוע:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle f_x(x,y)=2x+2y,\qquad f_y(x,y)=2x+3y^2 . }[/math]
בנקודה: [math]\displaystyle{ f(1,1)=1+2+1=4 }[/math], [math]\displaystyle{ f_x(1,1)=4 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y(1,1)=5 }[/math]. לפי מסקנה 5.1.8 משוואת המישור המשיק היא
- [math]\displaystyle{ \displaystyle z-4=4(x-1)+5(y-1), }[/math]
כלומר [math]\displaystyle{ z=4x+5y-5 }[/math].
בדיקה. [math]\displaystyle{ f_{xy}=(2x+2y)_y=2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_{yx}=(2x+3y^2)_x=2 }[/math]: הנגזרות המעורבות שוות, כמו שמשפט 5.4.2 מבטיח לפונקציה שהנגזרות החלקיות שלה מסדר שני רציפות.
דוגמה 2: כיוון העלייה התלולה ביותר ונגזרת כיוונית (מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד א', שאלה 4א)
נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x,y)=x^2+x^3-y+y^3+1 }[/math]. מצאו את הכיוון שבו הנגזרת של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] מקסימלית.
סעיף נוסף (לא מהמבחן): מהו השיפוע בכיוון הזה, ומהי הנגזרת הכיוונית של [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] בכיוון [math]\displaystyle{ \hat v=(3,4) }[/math]?
[math]\displaystyle{ f }[/math] היא פולינום, ולכן דיפרנציאבילית, ולפי מסקנה 5.2.5 הנגזרת הכיוונית מקסימלית בכיוון הגרדיאנט. [math]\displaystyle{ f_x=2x+3x^2 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y=-1+3y^2 }[/math], ולכן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \nabla f(1,1)=\big(f_x(1,1),f_y(1,1)\big)=(5,2). }[/math]
הכיוון המבוקש הוא [math]\displaystyle{ \hat v=(5,2) }[/math] (או כל כפולה חיובית שלו).
סעיף נוסף. השיפוע המקסימלי הוא אורך הגרדיאנט: [math]\displaystyle{ \|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\approx5.39 }[/math]. בכיוון [math]\displaystyle{ \hat v=(3,4) }[/math], שאורכו [math]\displaystyle{ \|\hat v\|=5 }[/math], לפי טענה 5.2.2:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle f'_{\hat v}(1,1)=(5,2)\cdot\frac{(3,4)}{5}=\frac{15+8}{5}=4.6 , }[/math]
ואכן [math]\displaystyle{ 4.6\le\sqrt{29} }[/math], כמו בטענה 5.2.4. בכיוון [math]\displaystyle{ (2,-5) }[/math], המאונך לגרדיאנט, הנגזרת הכיוונית היא [math]\displaystyle{ \frac{(5,2)\cdot(2,-5)}{\sqrt{29}}=0 }[/math].
דוגמה 3: נגזרות חלקיות קיימות, אבל הפונקציה אינה דיפרנציאבילית (מהלוח, הנדסה 8.5.26)
נביט בפונקציה
- [math]\displaystyle{ \displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^3}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases} }[/math]
חשבו את [math]\displaystyle{ f_x(0,0) }[/math] ואת [math]\displaystyle{ f_y(0,0) }[/math]. האם [math]\displaystyle{ f }[/math] דיפרנציאבילית בנקודה [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math]?
נגזרות חלקיות. זו פונקציה מפוצלת, ולכן בנקודה [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] מחשבים לפי מסקנה 5.1.5. מציבים [math]\displaystyle{ y=0 }[/math]: [math]\displaystyle{ f(x,0)=\frac{x^3}{x^2}=x }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math], וגם [math]\displaystyle{ f(0,0)=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f(x,0)=x }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f_x(0,0)=1 }[/math]. מציבים [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]: [math]\displaystyle{ f(0,y)=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ y }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f_y(0,0)=0 }[/math]. (שימו לב: [math]\displaystyle{ f_x(0,0)=1 }[/math] אף ש־[math]\displaystyle{ f(0,0)=0 }[/math].)
דיפרנציאביליות. אם [math]\displaystyle{ f }[/math] דיפרנציאבילית ב־[math]\displaystyle{ (0,0) }[/math], אזי לפי טענה 5.1.6 המישור בהגדרה 5.1.3 הוא בהכרח עם [math]\displaystyle{ A=f_x(0,0)=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ B=f_y(0,0)=0 }[/math]. לכן צריך לבדוק אם
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f(h_1,h_2)-f(0,0)-1\cdot h_1-0\cdot h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0 . }[/math]
לכל [math]\displaystyle{ (h_1,h_2)\ne(0,0) }[/math] הביטוי שבגבול שווה ל־
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{\frac{h_1^3}{h_1^2+h_2^2}-h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=\frac{-h_1h_2^2}{\big(h_1^2+h_2^2\big)\sqrt{h_1^2+h_2^2}} . }[/math]
לאורך המסלול [math]\displaystyle{ (h_1,h_2)=(t,t) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ t\to0^+ }[/math], הביטוי שווה ל־[math]\displaystyle{ \frac{-t^3}{2t^2\cdot\sqrt2\,t}=-\frac1{2\sqrt2}\ne0 }[/math]. אילו הגבול היה [math]\displaystyle{ 0 }[/math], הוא היה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] לאורך כל מסלול (מסקנה 4.1.6). לכן הגבול אינו [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה דיפרנציאבילית ב־[math]\displaystyle{ (0,0) }[/math], אף ששתי הנגזרות החלקיות קיימות שם.
הערה. [math]\displaystyle{ f }[/math] אפילו רציפה ב־[math]\displaystyle{ (0,0) }[/math], כי [math]\displaystyle{ |f(x,y)|\le|x| }[/math]. היא פשוט אינה נראית מקרוב כמו מישור: לאורך האלכסון [math]\displaystyle{ f(t,t)=\frac t2 }[/math], והשיפוע שלה בכיוון [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac1{2\sqrt2} }[/math], בעוד שהשיפוע של המישור [math]\displaystyle{ z=x }[/math] בכיוון זה הוא [math]\displaystyle{ \frac1{\sqrt2} }[/math].
דוגמה 4: הנמלה שמחפשת חום: גרדיאנט וכלל השרשרת (בוחן אודיסאה תשפ"ד, שאלה 3)
נטע הנמלה מטיילת על חוף הים, שהטמפרטורה בכל נקודה בו נתונה על ידי פונקציה דיפרנציאבילית [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math]. נתון ש־[math]\displaystyle{ f_x(0,0)=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y(0,0)=2 }[/math] (אין קשר בין הסעיפים).
(א) נטע נמצאת בנקודה [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math]. לאיזה כיוון עליה ללכת כדי להתחמם הכי מהר?
(ב) נטע מטיילת במסלול [math]\displaystyle{ (t-1,y(t)) }[/math], [math]\displaystyle{ t\in\mathbb R }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ y(t) }[/math] פונקציה גזירה. חשבו את [math]\displaystyle{ y(1) }[/math] ואת [math]\displaystyle{ y'(1) }[/math], אם ידוע שהנקודה [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] היא הנקודה החמה ביותר במסלול.
(א) לפי מסקנה 5.2.5 כיוון העלייה התלולה ביותר הוא כיוון הגרדיאנט, [math]\displaystyle{ \nabla f(0,0)=(1,2) }[/math], והטמפרטורה עולה בו בקצב [math]\displaystyle{ \|(1,2)\|=\sqrt5 }[/math].
(ב) נטע עוברת בנקודה [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ t-1=0 }[/math] רק עבור [math]\displaystyle{ t=1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ (0,y(1))=(0,0) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ y(1)=0 }[/math].
נסמן [math]\displaystyle{ h(t)=f(t-1,y(t)) }[/math], הטמפרטורה בזמן [math]\displaystyle{ t }[/math]. לפי כלל השרשרת (משפט 5.3.1) [math]\displaystyle{ h }[/math] גזירה, ו־
- [math]\displaystyle{ \displaystyle h'(t)=f_x\big(t-1,y(t)\big)\cdot1+f_y\big(t-1,y(t)\big)\cdot y'(t). }[/math]
ל־[math]\displaystyle{ h }[/math] יש מקסימום ב־[math]\displaystyle{ t=1 }[/math], ולכן לפי משפט פרמה (חדו"א 1) [math]\displaystyle{ h'(1)=0 }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle 0=h'(1)=f_x(0,0)+f_y(0,0)\,y'(1)=1+2y'(1), }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ y'(1)=-\frac12 }[/math].
משמעות. וקטור המהירות של נטע ב־[math]\displaystyle{ t=1 }[/math], [math]\displaystyle{ \left(1,-\frac12\right) }[/math], מאונך לגרדיאנט [math]\displaystyle{ (1,2) }[/math]: בנקודה החמה ביותר במסלול היא הולכת בכיוון שבו הנגזרת הכיוונית מתאפסת (מסקנה 5.2.5 (ג)).
דוגמה 5: כלל השרשרת עם פונקציה כללית (מבחן אודיסאה תשפ"ג מועד ב', שאלה 3)
תהי [math]\displaystyle{ u(x,y) }[/math] פונקציה דיפרנציאבילית. נגדיר [math]\displaystyle{ h(x,y)=u(x,y)+u(2y,3x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(x)=u\big(u(x,x),e^x\big) }[/math].
(א) הביעו את [math]\displaystyle{ h_x(x,y) }[/math] באמצעות [math]\displaystyle{ u_x,u_y }[/math] ופונקציות אלמנטריות.
(ב) הביעו את [math]\displaystyle{ g'(x) }[/math] באמצעות [math]\displaystyle{ u_x,u_y }[/math] ופונקציות אלמנטריות.
(א) גוזרים לפי [math]\displaystyle{ x }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ y }[/math] קבוע. המחובר הראשון נותן [math]\displaystyle{ u_x(x,y) }[/math]. במחובר השני הפונקציות הפנימיות הן [math]\displaystyle{ 2y }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 3x }[/math], שהנגזרות שלהן לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] הן [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ 3 }[/math], ולפי כלל השרשרת:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle h_x(x,y)=u_x(x,y)+u_x(2y,3x)\cdot0+u_y(2y,3x)\cdot3=u_x(x,y)+3u_y(2y,3x). }[/math]
(ב) הפונקציות הפנימיות הן [math]\displaystyle{ a(x)=u(x,x) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b(x)=e^x }[/math]. לפי כלל השרשרת [math]\displaystyle{ a'(x)=u_x(x,x)\cdot1+u_y(x,x)\cdot1 }[/math], ושוב לפי כלל השרשרת:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle g'(x)=u_x\big(u(x,x),e^x\big)\big[u_x(x,x)+u_y(x,x)\big]+u_y\big(u(x,x),e^x\big)\,e^x . }[/math]
טעויות נפוצות
- להסיק דיפרנציאביליות מקיום הנגזרות החלקיות (דוגמה 3), ולהפעיל על פונקציה כזו את הנוסחה [math]\displaystyle{ f'_{\hat v}=\nabla f\cdot\frac{\hat v}{\|\hat v\|} }[/math] או את כלל השרשרת, שההנחה שלהם היא דיפרנציאביליות.
- לגזור את הערך בנקודה בפונקציה מפוצלת: מ־[math]\displaystyle{ f(0,0)=0 }[/math] לא נובע [math]\displaystyle{ f_x(0,0)=0 }[/math]. גוזרים את הביטוי של הפונקציה לאורך הישר [math]\displaystyle{ y=y_0 }[/math] (בדוגמה 3 יצא [math]\displaystyle{ f_x(0,0)=1 }[/math]).
- לשכוח לחלק ב־[math]\displaystyle{ \|\hat v\| }[/math] בנגזרת הכיוונית: [math]\displaystyle{ \nabla f\cdot\hat v }[/math] שווה לנגזרת הכיוונית רק כש־[math]\displaystyle{ \hat v }[/math] וקטור יחידה.
- בכלל השרשרת: לשכוח את הנגזרת של הפונקציה הפנימית, או לחשב את [math]\displaystyle{ u_x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ u_y }[/math] בנקודה [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] במקום בנקודה שאליה הוצבו הפונקציות הפנימיות.
- לחשוב שהגרדיאנט הוא וקטור במרחב: [math]\displaystyle{ \nabla f(x_0,y_0) }[/math] הוא וקטור במישור [math]\displaystyle{ xy }[/math], בתחום, והוא מראה לאן ללכת בתחום כדי לעלות הכי מהר.
- לבלבל בסדר הגזירה: [math]\displaystyle{ f_{xy} }[/math] פירושו קודם לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] ואחר כך לפי [math]\displaystyle{ y }[/math]. השוויון [math]\displaystyle{ f_{xy}=f_{yx} }[/math] אינו נכון תמיד; משפט 5.4.2 מבטיח אותו כשהנגזרות המעורבות רציפות.
שאלות נוספות ממבחנים
- מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד א', שאלה 3: גזירה סתומה: אם [math]\displaystyle{ u(x,f(x))=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ u_y\ne0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f'=-\frac{u_x}{u_y} }[/math], והפרכה של טענה דומה · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד ב', שאלה 3: אם [math]\displaystyle{ f_x=-f_y }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f(t,t) }[/math] קבועה ו־[math]\displaystyle{ f(x-y,0)=f(x,y) }[/math] · מבחן · פתרון. באותו סגנון, מועד ג', שאלה 3: אם [math]\displaystyle{ f_x=f_y }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f(x,y)=f(y,x) }[/math] · מבחן · פתרון
- מבחן דמה אודיסאה תשפ"ב, שאלות 3 ו־4א: האינטגרל של נגזרת כיוונית לאורך חצי מעגל, [math]\displaystyle{ \int_0^\pi h(t)\,dt=f(-1,0)-f(1,0) }[/math]; המישור המשיק לחרוט [math]\displaystyle{ z=1-\sqrt{x^2+y^2} }[/math] · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ג מועד א', שאלה 3: [math]\displaystyle{ h_x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g' }[/math] להרכבות של [math]\displaystyle{ u(x,y) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ד מועד א', שאלות 3 ו־4א: אם [math]\displaystyle{ u(x,y)=u\left(\frac xy,1\right) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ xu_x+yu_y=0 }[/math]; מישור משיק עם פרמטרים · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ד מועד ב', שאלות 3 ו־4: הנגזרות של [math]\displaystyle{ u(2x,1-x) }[/math] ושל [math]\displaystyle{ u(u(x,x),x) }[/math]; באיזו נקודה המישור [math]\displaystyle{ z=ax+by+C }[/math] משיק · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ה מועד א', שאלות 3 ו־4א: אם [math]\displaystyle{ u_x,u_y>0 }[/math], היכן [math]\displaystyle{ u(t^2,t^2) }[/math] מינימלית; מישור משיק · מבחן · פתרון
- מבחן הנדסה תשפ"ה מועד א', שאלות 3 ו־4א: אם [math]\displaystyle{ u_xu_y<0 }[/math], ל־[math]\displaystyle{ h(t)=u(t,-t) }[/math] אין נקודת קיצון; הכיוון שבו הטמפרטורה עולה הכי מהר · מבחן · פתרון
- מבחן הנדסה תשפ"ה מועד ב', שאלות 3 ו־4א: הנגזרות של [math]\displaystyle{ f(u(2x,-x)) }[/math] ושל [math]\displaystyle{ u(f(y),u(y,y)) }[/math]; מישור משיק · מבחן (הפתרון אינו באתר)
- תרגיל: תרגיל 5 (הנדסה, תשע"ו): רציפות, נגזרות, דיפרנציאביליות וכלל השרשרת
סרטונים
ראו גם
