בקצרה: אינטגרל קווי מחשבים תמיד דרך פרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat r(t) }[/math], [math]\displaystyle{ a\le t\le b }[/math], של המסילה [math]\displaystyle{ C }[/math]. אינטגרל קווי מסוג ראשון של פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int_C f\,dr=\int_a^b f(\hat r(t))\,\|\hat r'(t)\|\,dt }[/math] (שטח של גדר, מסה של חבל, אורך), והוא לא תלוי בכיוון; אינטגרל קווי מסוג שני של שדה וקטורי [math]\displaystyle{ \hat F=(P,Q) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int_C\hat F\,d\hat r=\int_a^b\hat F(\hat r(t))\cdot\hat r'(t)\,dt }[/math] (עבודה), והיפוך הכיוון הופך את הסימן שלו. משפט גרין אומר שעל השפה [math]\displaystyle{ C }[/math] של תחום חסום [math]\displaystyle{ D }[/math] במישור, נגד כיוון השעון, [math]\displaystyle{ \oint_C\hat F\,d\hat r=\iint_D(Q_x-P_y)\,dx\,dy }[/math]: משתמשים בו כשהחישוב הישיר מסובך ו־[math]\displaystyle{ Q_x-P_y }[/math] פשוט, ובמסילה שאינה סגורה משלימים אותה לשפה ומחסירים את מה שנוסף. בשדה משמר [math]\displaystyle{ \hat F=(U_x,U_y) }[/math] העבודה היא [math]\displaystyle{ U }[/math] בנקודת הסיום פחות [math]\displaystyle{ U }[/math] בנקודת ההתחלה, בלי תלות במסלול.
▶ ההרצאה: משפט גרין (הנדסה, 15.6.26)
הגדרות ומשפטים
יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ \hat r:[a,b]\to\mathbb R^2 }[/math], [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(x(t),y(t)) }[/math], או
[math]\displaystyle{ \hat r:[a,b]\to\mathbb R^3 }[/math], [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(x(t),y(t),z(t)) }[/math], פונקציה רציפה.
נניח שקיימת חלוקה [math]\displaystyle{ a=t_0<t_1<\dots<t_k=b }[/math] של הקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך שבכל אחד מהקטעים [math]\displaystyle{ [t_{i-1},t_i] }[/math] לרכיבים של [math]\displaystyle{ \hat r }[/math] יש נגזרות רציפות (בקצות הקטע: נגזרות חד-צדדיות).
- הקבוצה [math]\displaystyle{ C=\{\hat r(t)\mid t\in[a,b]\} }[/math] נקראת מסילה, ו־[math]\displaystyle{ \hat r }[/math] נקראת פרמטריזציה של [math]\displaystyle{ C }[/math].
- הנקודה [math]\displaystyle{ \hat r(a) }[/math] נקראת נקודת ההתחלה של [math]\displaystyle{ C }[/math], והנקודה [math]\displaystyle{ \hat r(b) }[/math] נקראת נקודת הסיום של [math]\displaystyle{ C }[/math] (לפי [math]\displaystyle{ \hat r }[/math]). הפרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat r }[/math] קובעת את הכיוון של [math]\displaystyle{ C }[/math]: הכיוון שבו [math]\displaystyle{ \hat r(t) }[/math] נע כאשר [math]\displaystyle{ t }[/math] גדל.
- הפרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat r }[/math] נקראת סגורה אם [math]\displaystyle{ \hat r(a)=\hat r(b) }[/math], ואז אומרים ש [math]\displaystyle{ C }[/math] היא מסילה סגורה.
- הפרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat r }[/math] נקראת פשוטה אם [math]\displaystyle{ \hat r(s_1)\ne\hat r(s_2) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ a\le s_1<s_2\le b }[/math], פרט אולי ל־[math]\displaystyle{ s_1=a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ s_2=b }[/math]. מסילה שיש לה פרמטריזציה סגורה ופשוטה נקראת מסילה סגורה פשוטה.
- בנקודות [math]\displaystyle{ t_1,\dots,t_{k-1} }[/math] הנגזרת [math]\displaystyle{ \hat r' }[/math] אינה בהכרח קיימת. אינטגרל על הקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] שמופיעה בו [math]\displaystyle{ \hat r' }[/math] הוא סכום האינטגרלים על הקטעים [math]\displaystyle{ [t_{i-1},t_i] }[/math], עבור [math]\displaystyle{ 1\le i\le k }[/math].
במילים: מסילה היא תמונה של קטע: חושבים על [math]\displaystyle{ t }[/math] כעל זמן, ועל [math]\displaystyle{ \hat r(t) }[/math] כעל המקום, בזמן [math]\displaystyle{ t }[/math], של מי שהולך לאורך הקו. בנקודות החלוקה יכולות להיות למסילה "פינות". בשיעורים לא הגדרנו מה זה קו; ההגדרה כאן כוללת רק את מה שצריך כדי לנסח במדויק את הנוסחאות ואת המשפטים של הפרק.
תהי [math]\displaystyle{ C }[/math] מסילה עם פרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat r:[a,b]\to\mathbb R^2 }[/math] או [math]\displaystyle{ \hat r:[a,b]\to\mathbb R^3 }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ C }[/math]. האינטגרל הקווי מסוג ראשון של [math]\displaystyle{ f }[/math] על [math]\displaystyle{ C }[/math] (לפי הפרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat r }[/math]) הוא
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_C f\,dr=\int_a^b f(\hat r(t))\cdot\|\hat r'(t)\|\,dt . }[/math]
כלומר:
- (א) במישור, עבור [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(x(t),y(t)) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_C f\,dr=\int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt . }[/math]
- (ב) במרחב, עבור [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(x(t),y(t),z(t)) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_C f\,dr=\int_a^b f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\,dt . }[/math]
במילים: אם [math]\displaystyle{ f\ge0 }[/math] היא הגובה של גדר שהבסיס שלה הוא [math]\displaystyle{ C }[/math], האינטגרל הוא שטח הגדר. אם [math]\displaystyle{ f }[/math] היא הצפיפות של חבל המונח לאורך [math]\displaystyle{ C }[/math], האינטגרל הוא המסה של החבל. האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_C 1\,dr }[/math] הוא האורך של [math]\displaystyle{ C }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ C }[/math] מסילה עם פרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat r:[a,b]\to\mathbb R^2 }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] שדה וקטורי במישור, או
[math]\displaystyle{ \hat r:[a,b]\to\mathbb R^3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \hat F }[/math] שדה וקטורי במרחב, ונניח שהרכיבים של [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] רציפים בכל נקודה של [math]\displaystyle{ C }[/math]. האינטגרל הקווי מסוג שני של [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] על [math]\displaystyle{ C }[/math] (לפי הפרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat r }[/math], בכיוון שהיא קובעת) הוא
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_C\hat F\,d\hat r=\int_a^b\hat F(\hat r(t))\cdot\hat r'(t)\,dt , }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] היא המכפלה הסקלרית.
במילים: אם [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] הוא כוח, האינטגרל הוא העבודה שהכוח עושה על גוף שנע לאורך [math]\displaystyle{ C }[/math] בכיוון שקובעת הפרמטריזציה. בעבודה לוקחים רק את רכיב הכוח בכיוון התנועה.
תהי [math]\displaystyle{ C }[/math] מסילה, ויהי [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] שדה וקטורי (במישור או במרחב, כמו [math]\displaystyle{ C }[/math]) שרכיביו רציפים בכל נקודה של [math]\displaystyle{ C }[/math].
- (א) אם [math]\displaystyle{ \hat r_1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \hat r_2 }[/math] פרמטריזציות פשוטות של [math]\displaystyle{ C }[/math] שקובעות את אותו כיוון, אזי האינטגרל הקווי מסוג שני של [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] על [math]\displaystyle{ C }[/math] לפי [math]\displaystyle{ \hat r_1 }[/math] שווה לאינטגרל הקווי מסוג שני של [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] על [math]\displaystyle{ C }[/math] לפי [math]\displaystyle{ \hat r_2 }[/math].
- (ב) תהי [math]\displaystyle{ \hat r:[a,b]\to\mathbb R^2 }[/math] או [math]\displaystyle{ \hat r:[a,b]\to\mathbb R^3 }[/math] פרמטריזציה של [math]\displaystyle{ C }[/math]. את המסילה [math]\displaystyle{ C }[/math] בכיוון ההפוך, עם הפרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat r^-(t)=\hat r(a+b-t) }[/math], [math]\displaystyle{ t\in[a,b] }[/math], נסמן [math]\displaystyle{ C^- }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{C^-}\hat F\,d\hat r=-\int_C\hat F\,d\hat r . }[/math]
במילים: בין הפרמטריזציות הפשוטות, האינטגרל הקווי מסוג שני תלוי רק בכיוון של המסילה, והיפוך הכיוון הופך את הסימן שלו.
תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R^2 }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ \hat F:A\to\mathbb R^2 }[/math] שדה וקטורי במישור. אומרים ש [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] הוא שדה משמר אם קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ U }[/math], דיפרנציאבילית בכל נקודה של [math]\displaystyle{ A }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ \hat F(x,y)=(U_x(x,y),U_y(x,y)) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ (x,y)\in A }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R^2 }[/math], יהי [math]\displaystyle{ \hat F:A\to\mathbb R^2 }[/math] שדה משמר, ותהי [math]\displaystyle{ U }[/math] פונקציה דיפרנציאבילית בכל נקודה של [math]\displaystyle{ A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \hat F=(U_x,U_y) }[/math] ב־[math]\displaystyle{ A }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ C\subseteq A }[/math] מסילה עם פרמטריזציה [math]\displaystyle{ \hat r:[a,b]\to\mathbb R^2 }[/math], ונניח ש [math]\displaystyle{ U_x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ U_y }[/math] רציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ C }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_C\hat F\,d\hat r=U(\hat r(b))-U(\hat r(a)) . }[/math]
במילים: העבודה של שדה משמר לאורך מסילה תלויה רק בנקודת ההתחלה ובנקודת הסיום שלה, ולא במסלול.
יהי [math]\displaystyle{ D\subseteq\mathbb R^2 }[/math] תחום חסום ששפתו [math]\displaystyle{ C }[/math] היא מסילה סגורה פשוטה, ונכוון את [math]\displaystyle{ C }[/math] נגד כיוון השעון, כלומר כך שכאשר הולכים לאורך [math]\displaystyle{ C }[/math] התחום [math]\displaystyle{ D }[/math] נמצא משמאל. יהי [math]\displaystyle{ \hat F=(P,Q) }[/math] שדה וקטורי במישור כך שהנגזרות החלקיות של [math]\displaystyle{ P }[/math] ושל [math]\displaystyle{ Q }[/math] קיימות ורציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D\cup C }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \oint_C\hat F\,d\hat r=\iint_D(Q_x-P_y)\,dx\,dy . }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb R^2 }[/math], יהי [math]\displaystyle{ \hat F:A\to\mathbb R^2 }[/math] שדה משמר, ותהי [math]\displaystyle{ U }[/math] פונקציה דיפרנציאבילית בכל נקודה של [math]\displaystyle{ A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \hat F=(U_x,U_y) }[/math] ב־[math]\displaystyle{ A }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ C\subseteq A }[/math] מסילה עם פרמטריזציה סגורה, ונניח ש [math]\displaystyle{ U_x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ U_y }[/math] רציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ C }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \oint_C\hat F\,d\hat r=0 . }[/math]
יהי [math]\displaystyle{ \hat F=(P,Q) }[/math] שדה וקטורי במישור, ותהי [math]\displaystyle{ L\subseteq\mathbb R^2 }[/math] מסילה. יש שתי דרכים לחשב את [math]\displaystyle{ \int_L\hat F\,d\hat r }[/math]:
- (א) למצוא פרמטריזציה של [math]\displaystyle{ L }[/math], ולחשב באופן ישיר לפי ההגדרה.
- (ב) להשלים את [math]\displaystyle{ L }[/math] במסילה [math]\displaystyle{ L' }[/math], מנקודת הסיום של [math]\displaystyle{ L }[/math] אל נקודת ההתחלה שלה, כך ש [math]\displaystyle{ L }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L' }[/math] יחד הן השפה [math]\displaystyle{ C }[/math] של תחום חסום [math]\displaystyle{ D }[/math], מכוונת נגד כיוון השעון; לחשב את [math]\displaystyle{ \oint_C\hat F\,d\hat r }[/math] לפי משפט גרין, כשמתקיימות הנחותיו; ולהחסיר את מה שנוסף:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_L\hat F\,d\hat r=\iint_D(Q_x-P_y)\,dx\,dy-\int_{L'}\hat F\,d\hat r . }[/math]
איך פותרים
אינטגרל קווי, כל סוג:
- מזהים את הסוג. פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] שמחזירה מספר (גובה של גדר, צפיפות, או 1 בשביל אורך): סוג ראשון. שדה וקטורי [math]\displaystyle{ \hat F }[/math], או ביטוי מהצורה [math]\displaystyle{ \int_C P\,dx+Q\,dy }[/math] (סימון 8.2.3): סוג שני, ואז חשוב גם הכיוון.
- מוצאים פרמטריזציה לכל חלק של המסילה. שפה עם "פינות" (מלבן, משולש, תחום בין שני גרפים) מחלקים לכמה מסילות, והאינטגרל הוא הסכום. הפרמטריזציות הנפוצות:
- קטע מ־[math]\displaystyle{ A }[/math] ל־[math]\displaystyle{ B }[/math]: [math]\displaystyle{ \hat r(t)=A+t(B-A) }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le t\le1 }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ (t,0) }[/math] או [math]\displaystyle{ (1,t) }[/math]);
- גרף [math]\displaystyle{ y=h(x) }[/math], [math]\displaystyle{ a\le x\le b }[/math]: [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(t,h(t)) }[/math], [math]\displaystyle{ a\le t\le b }[/math];
- מעגל ברדיוס [math]\displaystyle{ R }[/math] סביב הראשית, נגד כיוון השעון: [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(R\cos t,R\sin t) }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le t\le2\pi }[/math] (החצי העליון: [math]\displaystyle{ 0\le t\le\pi }[/math]);
- אליפסה [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(a\cos t,b\sin t) }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le t\le2\pi }[/math] (מותחים את המעגל);
- קפיץ במרחב: [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(\cos t,\sin t,t) }[/math].
- לפי משפט 8.1.3 וטענה 8.2.4 (א), כל פרמטריזציה פשוטה (בסוג השני: באותו כיוון) נותנת אותה תשובה, אבל היא כן משפיעה על רמת הקושי של החישוב: בוחרים את זו שבה האינטגרנד הכי פשוט.
- סוג ראשון: מציבים בהגדרה 8.1.2. הכיוון לא משנה, ו־[math]\displaystyle{ \|\hat r'(t)\| }[/math] תמיד אי-שלילי.
- סוג שני: בודקים שהפרמטריזציה הולכת בכיוון המבוקש; אם הפרמטריזציה הטבעית היא בכיוון ההפוך, מחשבים איתה ועושים מינוס בסוף (טענה 8.2.4 (ב)). לפני שמחשבים ישירות, שואלים: האם השדה משמר? האם כדאי גרין?
מתי גרין ולא ההגדרה: כשמתקיימים שלושה דברים:
- המסילה סגורה (או שקל לסגור אותה, למשל בקטע על ציר [math]\displaystyle{ x }[/math]), והיא השפה של תחום חסום [math]\displaystyle{ D }[/math] במישור;
- ל־[math]\displaystyle{ P }[/math] ול־[math]\displaystyle{ Q }[/math] יש נגזרות חלקיות רציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D\cup C }[/math]; בפרט השדה מוגדר בכל התחום, בלי חלוקה באפס בתוך [math]\displaystyle{ D }[/math] או על השפה;
- [math]\displaystyle{ Q_x-P_y }[/math] פשוט (קבוע, [math]\displaystyle{ x^2+y^2 }[/math] וכדומה), ואילו החישוב הישיר מוביל לאינטגרלים כמו [math]\displaystyle{ \int e^{\cos t}\sin^3t\,dt }[/math].
אם המסילה מכוונת עם כיוון השעון, התוצאה של גרין מקבלת מינוס. אם המסילה אינה סגורה, משלימים ומחסירים (שיטה 8.4.4 (ב)); על קטע של ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ y=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y'(t)=0 }[/math], ולכן שם נשאר רק [math]\displaystyle{ \int P(t,0)\,dt }[/math]. ואם אחרי גרין החישובים מסתבכים, חוזרים לחישוב הישיר (דוגמה 4). את האינטגרל הכפול שמתקבל מחשבים כרגיל, הרבה פעמים בקואורדינטות קוטביות.
שדה משמר: איך בודקים, ואיך מוצאים את [math]\displaystyle{ U }[/math]:
- להוכיח ששדה משמר: לפי הגדרה 8.3.1 צריך להציג פונקציה [math]\displaystyle{ U }[/math] דיפרנציאבילית עם [math]\displaystyle{ U_x=P }[/math] ו־[math]\displaystyle{ U_y=Q }[/math]. דרך מעשית למצוא אותה: [math]\displaystyle{ U=\int P\,dx+c(y) }[/math] (אינטגרל לפי [math]\displaystyle{ x }[/math], כש־[math]\displaystyle{ y }[/math] קבוע); גוזרים לפי [math]\displaystyle{ y }[/math], משווים ל־[math]\displaystyle{ Q }[/math] ומוצאים את [math]\displaystyle{ c(y) }[/math]. אפשר גם בסדר ההפוך, [math]\displaystyle{ U=\int Q\,dy+c(x) }[/math], כשהאינטגרל הזה קל יותר (דוגמה 5). זו בדיוק השיטה של מד"ר מדויקת.
- לחשב עבודה בשדה משמר: לפי משפט 8.3.2 האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ U(\hat r(b))-U(\hat r(a)) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ U }[/math] בנקודת הסיום פחות [math]\displaystyle{ U }[/math] בנקודת ההתחלה, לא משנה מה המסלול; על מסילה סגורה הוא 0 (מסקנה 8.4.3).
- להוכיח ששדה אינו משמר: (א) אם ל־[math]\displaystyle{ P }[/math] ול־[math]\displaystyle{ Q }[/math] יש נגזרות חלקיות רציפות בסביבה של נקודה, ובנקודה [math]\displaystyle{ P_y\ne Q_x }[/math], השדה אינו משמר: אילו [math]\displaystyle{ \hat F=(U_x,U_y) }[/math], אז [math]\displaystyle{ U_{xy}=P_y }[/math] ו־[math]\displaystyle{ U_{yx}=Q_x }[/math] רציפות, ולפי משפט 5.4.2 (שוויון הנגזרות המעורבות) הן שוות. (ב) מסילה סגורה שעליה [math]\displaystyle{ \oint_C\hat F\,d\hat r\ne0 }[/math]: לפי מסקנה 8.4.3 השדה אינו משמר. ניסיון כושל למצוא [math]\displaystyle{ U }[/math] אינו הוכחה.
העשרה (לא בחומר הקורס)
הכיוון ההפוך של (א) נכון בתחום "בלי חורים", למשל כל המישור, עיגול או מלבן: אם ל־[math]\displaystyle{ P }[/math] ול־[math]\displaystyle{ Q }[/math] יש שם נגזרות חלקיות רציפות ו־[math]\displaystyle{ P_y=Q_x }[/math] בכל נקודה, השדה משמר, והשיטה שלמעלה תמיד מוצאת את [math]\displaystyle{ U }[/math]. בכיתת אודיסאה זה נאמר כהעשרה ("זה בדיוק הבדיקה של מד"ר מדויקת"), ובמבחנים של הקורס בשנים תשפ"ב–תשפ"ה לא הופיעה שאלה על שדה משמר.
בתחום עם חור זה לא נכון. השדה [math]\displaystyle{ \hat F=\left(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right) }[/math] מוגדר בכל המישור פרט לראשית, ושם [math]\displaystyle{ P_y=Q_x=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} }[/math]. אבל על מעגל היחידה, עם [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(\cos t,\sin t) }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ \hat F(\hat r(t))\cdot\hat r'(t)=\sin^2t+\cos^2t=1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \oint_C\hat F\,d\hat r=2\pi\ne0 }[/math], ולפי מסקנה 8.4.3 השדה אינו משמר. אותו שדה מראה גם למה בגרין צריך שהשדה יהיה מוגדר בכל התחום: [math]\displaystyle{ Q_x-P_y=0 }[/math], ובכל זאת האינטגרל על המעגל אינו 0.
דוגמאות פתורות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: שטח הקירות של בית, אינטגרל קווי מסוג ראשון (מבחן מועד ג' אודיסאה תשפ"ב, שאלה 5)
יהי בית שתחום הרצפה שלו הוא [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid0\le x\le1,\ 0\le y\le x^2\} }[/math] וגובה התקרה שלו הוא [math]\displaystyle{ f(x,y)=x }[/math]. מצאו את שטח הפנים הכולל של הבית (רצפה, קירות ותקרה).
רצפה: [math]\displaystyle{ \iint_D1\,dx\,dy=\int_0^1x^2\,dx=\frac13 }[/math].
קירות: שטח הקירות הוא האינטגרל הקווי מסוג ראשון של פונקציית הגובה על שפת הרצפה. השפה מורכבת משלוש מסילות, לכל אחת פרמטריזציה משלה; הכיוון לא משנה, כי זה אינטגרל מסוג ראשון.
- הפרבולה [math]\displaystyle{ C_1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \hat r_1(t)=(t,t^2) }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le t\le1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \|\hat r_1'(t)\|=\sqrt{1+4t^2} }[/math]. עם ההצבה [math]\displaystyle{ u=1+4t^2 }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{C_1}f\,dr=\int_0^1t\sqrt{1+4t^2}\,dt=\frac18\int_1^5\sqrt u\,du=\frac{5\sqrt5-1}{12} . }[/math]
- הקטע התחתון [math]\displaystyle{ C_2 }[/math]: [math]\displaystyle{ \hat r_2(t)=(t,0) }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le t\le1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \int_{C_2}f\,dr=\int_0^1t\cdot1\,dt=\frac12 }[/math].
- הקטע הימני [math]\displaystyle{ C_3 }[/math]: [math]\displaystyle{ \hat r_3(t)=(1,t) }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le t\le1 }[/math], ושם [math]\displaystyle{ f=1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \int_{C_3}f\,dr=\int_0^11\cdot1\,dt=1 }[/math].
תקרה: אינטגרל משטחי מסוג ראשון של 1 על הגרף. עם [math]\displaystyle{ \hat s(x,y)=(x,y,x) }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ \hat s_x\times\hat s_y=(-1,0,1) }[/math], שהנורמה שלו [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math], ולכן השטח הוא [math]\displaystyle{ \iint_D\sqrt2\,dx\,dy=\frac{\sqrt2}3 }[/math] (ראו אינטגרל משטחי, משפט גאוס ומשפט סטוקס).
סך הכול:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \frac13+\frac{5\sqrt5-1}{12}+\frac12+1+\frac{\sqrt2}3=\frac74+\frac{5\sqrt5}{12}+\frac{\sqrt2}3\approx3.15 . }[/math]
דוגמה 2: גרין במקום חישוב ישיר (מבחן מועד ג' אודיסאה תשפ"ב, שאלה 6)
נביט בתחום [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\} }[/math] בעל השפה [math]\displaystyle{ C }[/math], ונביט בשדה הווקטורי [math]\displaystyle{ \hat F=(-y^3+y^2e^x)\hat i+(x^3+2ye^x)\hat j }[/math]. חשבו את האינטגרל הקווי מסוג שני של השדה הווקטורי על השפה נגד כיוון השעון: [math]\displaystyle{ \oint_C\hat F\,d\hat r }[/math].
ניסיון ישיר. עם [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(\cos t,\sin t) }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le t\le2\pi }[/math] (נגד כיוון השעון):
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \oint_C\hat F\,d\hat r=\int_0^{2\pi}\left[\sin^4t-\sin^3t\,e^{\cos t}+\cos^4t+2\sin t\cos t\,e^{\cos t}\right]dt . }[/math]
זה נראה מסובך מדי, ולכן ננסה את גרין.
גרין. [math]\displaystyle{ D }[/math] הוא עיגול היחידה, שפתו מסילה סגורה פשוטה המכוונת נגד כיוון השעון, ול־[math]\displaystyle{ P=-y^3+y^2e^x }[/math], [math]\displaystyle{ Q=x^3+2ye^x }[/math] יש נגזרות חלקיות רציפות בכל המישור. החלק המסובך, [math]\displaystyle{ 2ye^x }[/math], מתבטל:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle Q_x-P_y=(3x^2+2ye^x)-(-3y^2+2ye^x)=3(x^2+y^2) . }[/math]
בקואורדינטות קוטביות:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \oint_C\hat F\,d\hat r=\iint_D3(x^2+y^2)\,dx\,dy=3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1r^2\cdot r\,dr\,d\theta=3\cdot2\pi\cdot\frac14=\frac{3\pi}2 . }[/math]
מקור:
מועד ג' אודיסאה תשפ"ב, שאלה 6 (
פתרון; ארז מתחיל שם בניסיון הישיר כדי להראות למה בוחרים בגרין). התוצאה נבדקה גם בחישוב נומרי של האינטגרל הישיר.
דוגמה 3: מסילה שאינה סגורה: משלימים ומחסירים (מבחן מועד ב' אודיסאה תשפ"ג, שאלה 6)
נביט בתחום חצי מעגל היחידה במישור [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1,\ y\ge0\} }[/math], במסילה [math]\displaystyle{ C }[/math] שהפרמטריזציה שלה היא [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(\cos t,\sin t) }[/math], [math]\displaystyle{ t\in[0,\pi] }[/math], ובשדה הווקטורי [math]\displaystyle{ \hat F=(e^xy)\hat i+(x+e^x)\hat j }[/math]. חשבו את האינטגרל הקווי מסוג שני [math]\displaystyle{ \int_C\hat F\,d\hat r }[/math].
החישוב הישיר נותן [math]\displaystyle{ \int_0^\pi\left(-\sin^2t\,e^{\cos t}+\cos^2t+\cos t\,e^{\cos t}\right)dt }[/math], אינטגרל קשה. המסילה [math]\displaystyle{ C }[/math] הולכת על החצי העליון של המעגל מ־[math]\displaystyle{ (1,0) }[/math] ל־[math]\displaystyle{ (-1,0) }[/math] ואינה סגורה, ולכן משלימים אותה (שיטה 8.4.4 (ב)) בקטע [math]\displaystyle{ L' }[/math] מ־[math]\displaystyle{ (-1,0) }[/math] ל־[math]\displaystyle{ (1,0) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \hat r_1(t)=(-1+t,0),\qquad0\le t\le2 . }[/math]
[math]\displaystyle{ C }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L' }[/math] יחד הן השפה של חצי העיגול [math]\displaystyle{ D }[/math], נגד כיוון השעון ([math]\displaystyle{ D }[/math] משמאל). רכיבי השדה גזירים ברציפות בכל המישור, ו־[math]\displaystyle{ Q_x-P_y=(1+e^x)-e^x=1 }[/math], ולכן לפי גרין האינטגרל על כל השפה הוא שטח חצי העיגול, [math]\displaystyle{ \frac\pi2 }[/math].
על [math]\displaystyle{ L' }[/math]: [math]\displaystyle{ \hat r_1'(t)=(1,0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \hat F(\hat r_1(t))\cdot\hat r_1'(t)=P(-1+t,0)=e^{-1+t}\cdot0=0 }[/math], והאינטגרל על [math]\displaystyle{ L' }[/math] הוא 0. לכן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_C\hat F\,d\hat r=\iint_D1\,dx\,dy-\int_{L'}\hat F\,d\hat r=\frac\pi2-0=\frac\pi2 . }[/math]
דוגמה 4: מתי לא להשתמש בגרין: חצי אליפסה (שיעור החזרה לקראת המבחן, הנדסה תשפ"ו)
יהי [math]\displaystyle{ \hat F(x,y)=\left(\frac{-y}{\frac{x^2}4+\frac{y^2}9},\ \frac{x}{\frac{x^2}4+\frac{y^2}9}\right) }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ L }[/math] החצי העליון של האליפסה [math]\displaystyle{ \frac{x^2}4+\frac{y^2}9=1 }[/math], מהנקודה [math]\displaystyle{ (2,0) }[/math] לנקודה [math]\displaystyle{ (-2,0) }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ \int_L\hat F\,d\hat r }[/math].
יש שתי דרכים (שיטה 8.4.4).
גרין? אפשר לסגור את [math]\displaystyle{ L }[/math] בקטע מ־[math]\displaystyle{ (-2,0) }[/math] ל־[math]\displaystyle{ (2,0) }[/math]. אבל השדה אינו מוגדר בראשית, שנמצאת על הקטע הזה, ולכן ההנחה של משפט גרין (נגזרות חלקיות רציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D\cup C }[/math]) אינה מתקיימת. ואכן, חישוב ארוך נותן [math]\displaystyle{ Q_x-P_y=0 }[/math] בכל נקודה פרט לראשית, ועל הקטע [math]\displaystyle{ P(x,0)=0 }[/math], כך ש"גרין" היה נותן 0, וזו תשובה שגויה. בשיעור החישוב של [math]\displaystyle{ Q_x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ P_y }[/math] הסתבך מהר, וזה סימן לעבור לחישוב ישיר.
חישוב ישיר. [math]\displaystyle{ \hat r(t)=(2\cos t,3\sin t) }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le t\le\pi }[/math]: ב־[math]\displaystyle{ t=0 }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ (2,0) }[/math] וב־[math]\displaystyle{ t=\pi }[/math] את [math]\displaystyle{ (-2,0) }[/math], כלומר הכיוון נכון. על האליפסה המכנה שווה [math]\displaystyle{ \frac{4\cos^2t}4+\frac{9\sin^2t}9=1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \hat F(\hat r(t))=(-3\sin t,2\cos t) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \hat r'(t)=(-2\sin t,3\cos t) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_L\hat F\,d\hat r=\int_0^\pi\left(6\sin^2t+6\cos^2t\right)dt=\int_0^\pi6\,dt=6\pi . }[/math]
המסקנה: כשהשדה נעשה פשוט על המסילה (כאן המכנה שווה 1), החישוב הישיר הוא הקל; ולפני גרין בודקים שהשדה מוגדר וגזיר בכל התחום.
דוגמה 5: שדה משמר: מוצאים את [math]\displaystyle{ U }[/math] ומציבים בקצוות (תרגיל 8 של הקורס, תשע"ו, שאלה 7)
יהי [math]\displaystyle{ \hat F(x,y)=\left(2x\sin(xy)+x^2y\cos(xy)\right)\hat i+x^3\cos(xy)\,\hat j }[/math].
- (א) הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] שדה משמר בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R^2 }[/math].
- (ב) עבור המסלול [math]\displaystyle{ C }[/math] המוגדר על ידי [math]\displaystyle{ x=\sin t }[/math], [math]\displaystyle{ y=e^{3t} }[/math], [math]\displaystyle{ 0\le t\le\pi }[/math], חשבו את [math]\displaystyle{ \int_C\hat F\,d\hat r }[/math].
(א) מחפשים [math]\displaystyle{ U }[/math] עם [math]\displaystyle{ U_x=P }[/math] ו־[math]\displaystyle{ U_y=Q }[/math]. כאן קל יותר להתחיל מ־[math]\displaystyle{ Q }[/math]: אינטגרל לפי [math]\displaystyle{ y }[/math], כש־[math]\displaystyle{ x }[/math] קבוע, נותן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle U=\int x^3\cos(xy)\,dy=x^2\sin(xy)+c(x) . }[/math]
גוזרים לפי [math]\displaystyle{ x }[/math]: [math]\displaystyle{ U_x=2x\sin(xy)+x^2y\cos(xy)+c'(x) }[/math], וזה שווה ל־[math]\displaystyle{ P }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ c'(x)=0 }[/math]; ניקח [math]\displaystyle{ c=0 }[/math]. לפונקציה [math]\displaystyle{ U(x,y)=x^2\sin(xy) }[/math] יש נגזרות חלקיות רציפות בכל המישור, ולכן היא דיפרנציאבילית, ו־[math]\displaystyle{ \hat F=(U_x,U_y) }[/math]. לפי הגדרה 8.3.1, [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] שדה משמר. (בדיקה: [math]\displaystyle{ P_y=Q_x=3x^2\cos(xy)-x^3y\sin(xy) }[/math], כמו שחייב להיות.)
(ב) [math]\displaystyle{ U_x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ U_y }[/math] רציפות בכל המישור, ולכן לפי משפט 8.3.2 צריך רק את נקודות הקצה: [math]\displaystyle{ \hat r(0)=(0,1) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \hat r(\pi)=(0,e^{3\pi}) }[/math].
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_C\hat F\,d\hat r=U(0,e^{3\pi})-U(0,1)=0-0=0 . }[/math]
החישוב הישיר היה מוביל לאינטגרלים כמו [math]\displaystyle{ \int\sin(\sin t\cdot e^{3t})\cos t\,dt }[/math], שאין סיכוי לחשב בידיים.
מקור:
תרגיל 8 של הקורס (תשע"ו), שאלה 7 (ממבחן של ד"ר שמחה הורוביץ; בתרגיל אין פתרון). בתרגיל נכתב
[math]\displaystyle{ \oint_C }[/math], אבל המסילה אינה סגורה; התשובה אינה משתנה.
טעויות נפוצות
- לבלבל בין שני הסוגים: בסוג הראשון כופלים בנורמה [math]\displaystyle{ \|\hat r'(t)\| }[/math], ובסוג השני במכפלה סקלרית עם [math]\displaystyle{ \hat r'(t) }[/math], בלי נורמה. בסוג הראשון [math]\displaystyle{ f }[/math] היא פונקציה שמחזירה מספר, ובסוג השני [math]\displaystyle{ \hat F }[/math] הוא וקטור.
- הכיוון: בסוג השני היפוך הכיוון הופך את הסימן (טענה 8.2.4 (ב)), ובסוג הראשון לא. פרמטריזציה של קטע "מימין לשמאל" כשהמסילה הולכת "משמאל לימין" בלי מינוס בסוף היא טעות נפוצה, בעיקר בשפה של תחום.
- בגרין: לכתוב [math]\displaystyle{ P_y-Q_x }[/math] או [math]\displaystyle{ P_x-Q_y }[/math] במקום [math]\displaystyle{ Q_x-P_y }[/math]; לשכוח שהמשפט הוא נגד כיוון השעון ([math]\displaystyle{ D }[/math] משמאל), ועם כיוון השעון התוצאה מקבלת מינוס.
- גרין על מסילה שאינה סגורה, או השלמה בלי להחסיר את מה שנוסף.
- גרין כשהשדה אינו מוגדר בתוך התחום (חלוקה באפס): [math]\displaystyle{ Q_x-P_y=0 }[/math] אינו אומר שהאינטגרל 0 (דוגמה 4, והשדה בהעשרה).
- שדה משמר: להסיק "משמר" מ־[math]\displaystyle{ P_y=Q_x }[/math] בתחום עם חור; להסיק "לא משמר" מכך שלא הצלחנו למצוא [math]\displaystyle{ U }[/math] (צריך [math]\displaystyle{ P_y\ne Q_x }[/math] או מסילה סגורה עם אינטגרל שונה מ־0); ולהציב בסדר הפוך, [math]\displaystyle{ U }[/math] בהתחלה פחות [math]\displaystyle{ U }[/math] בסוף.
- תחום הפרמטר: חצי מעגל הוא [math]\displaystyle{ 0\le t\le\pi }[/math] ולא [math]\displaystyle{ 0\le t\le2\pi }[/math]; ובאליפסה [math]\displaystyle{ (\cos t,\sin t) }[/math] במקום [math]\displaystyle{ (a\cos t,b\sin t) }[/math] אינה פרמטריזציה של האליפסה.
שאלות נוספות ממבחנים
- מועד א' אודיסאה תשפ"ג, שאלה 6: גרין על השפה של חצי עיגול היחידה, [math]\displaystyle{ \hat F=(e^xy,x+e^x) }[/math], [math]\displaystyle{ Q_x-P_y=1 }[/math] (תשובה: [math]\displaystyle{ \frac\pi2 }[/math]). מבחן · פתרון
- מועד ב' אודיסאה תשפ"ה, שאלה 6: העבודה של [math]\displaystyle{ \hat F=(-y^3,x^3) }[/math] סביב מעגל היחידה, בגרין (תשובה: [math]\displaystyle{ \frac{3\pi}2 }[/math]). המבחן אינו באתר.
- מועד א' אודיסאה תשפ"ב, שאלה 5: בית מעל ריבוע היחידה בגובה [math]\displaystyle{ e^x }[/math]; ארבעה קירות, ארבע פרמטריזציות (שטח הקירות: [math]\displaystyle{ 3e-1 }[/math]). מבחן · פתרון
- מועד ב' אודיסאה תשפ"ב, שאלה 5: בית מעל עיגול היחידה בגובה [math]\displaystyle{ x^2+y^2 }[/math] (שטח הקירות: [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]). מבחן · פתרון
- מבחן דמה אודיסאה תשפ"ב, שאלה 5: גובה [math]\displaystyle{ |x| }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \int_0^{2\pi}|\cos t|\,dt }[/math] מפוצל לקטעים (שטח הקירות: 4). מבחן · פתרון
- מועד ב' הנדסה תשפ"ה, שאלה 5ב: שטח הקירות של עוגה בגובה [math]\displaystyle{ x^2y^2+1 }[/math] (תשובה: [math]\displaystyle{ \frac{9\pi}4 }[/math]). מבחן (אין פתרון באתר)
- תרגיל 8 (תשע"ו): אורך של מסילות במרחב, גרין על ריבוע, משולש, [math]\displaystyle{ |x|+|y|=1 }[/math] ואליפסה, ושדה משמר (בלי פתרונות).
סרטונים
ראו גם
