בקצרה: האינטגרל הכפול [math]\displaystyle{ \iint_D f\,dx\,dy }[/math] הוא הנפח מתחת לגרף של [math]\displaystyle{ f\ge0 }[/math], מעל התחום [math]\displaystyle{ D }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \iint_D 1\,dx\,dy }[/math] הוא השטח של [math]\displaystyle{ D }[/math]. מחשבים אותו כאינטגרל חוזר (אינטגרל של אינטגרל): במלבן לפי משפט פוביני, ובתחום אחר מציגים את [math]\displaystyle{ D }[/math] כתחום סטנדרטי: משתנה אחד בין שני מספרים, והשני בין שתי פונקציות של הראשון. עיקר העבודה הוא לקרוא מהסקיצה את גבולות האינטגרציה. כשהאינטגרל הפנימי אינו ניתן לחישוב (למשל [math]\displaystyle{ \sin(y^2) }[/math]), עושים שינוי סדר האינטגרציה. האינטגרל המשולש מחושב באותה דרך, עם משתנה שלישי.
▶ ההרצאה: אינטגרל כפול, תחום סטנדרטי ושינוי סדר האינטגרציה (הנדסה, 1.6.26)
בדף הזה הכול בקואורדינטות [math]\displaystyle{ x,y }[/math] (ו־[math]\displaystyle{ z }[/math]). מעבר לקואורדינטות קוטביות, גליליות וכדוריות, למשל כשהתחום הוא עיגול: יעקוביאן והחלפת משתנים באינטגרל.
הגדרות ומשפטים
תהי [math]\displaystyle{ D\subseteq\mathbb R^2 }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה המוגדרת ב־[math]\displaystyle{ D }[/math]. האינטגרל הכפול של [math]\displaystyle{ f }[/math] על [math]\displaystyle{ D }[/math] מסומן [math]\displaystyle{ \iint_D f }[/math] או [math]\displaystyle{ \iint_D f(x,y)\,dx\,dy }[/math]. בקורס לא נתנו לו הגדרה מדויקת, אלא משמעות:
- אם [math]\displaystyle{ f\ge0 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ D }[/math], האינטגרל [math]\displaystyle{ \iint_D f }[/math] הוא הנפח מתחת לגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math], מעל [math]\displaystyle{ D }[/math].
- אם חושבים על [math]\displaystyle{ D }[/math] כעל משטח ועל [math]\displaystyle{ f }[/math] כעל פונקציית הצפיפות שלו, האינטגרל [math]\displaystyle{ \iint_D f }[/math] הוא המסה של המשטח.
- האינטגרל [math]\displaystyle{ \iint_D 1\,dx\,dy }[/math] הוא השטח של [math]\displaystyle{ D }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ D }[/math] מוכלת במלבן [math]\displaystyle{ U }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \iint_D f=\iint_U\hat f }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \hat f }[/math] היא ההרחבה של [math]\displaystyle{ f }[/math] באפס:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \hat f(x,y)=\begin{cases} f(x,y), & (x,y)\in D,\\ 0, & (x,y)\in U\setminus D.\end{cases} }[/math]
יהיו [math]\displaystyle{ a<b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c<d }[/math] מספרים ממשיים, יהי [math]\displaystyle{ D }[/math] המלבן [math]\displaystyle{ \{(x,y)\mid a\le x\le b,\ c\le y\le d\} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה רציפה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D f=\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx=\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy. }[/math]
ההסבר מהלוח: פורסים את העוגה בנקודה [math]\displaystyle{ x }[/math], ושטח הפרוסה הדקה הוא [math]\displaystyle{ I(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy }[/math]. כשסוכמים (עושים אינטגרל על) את שטחי כל הפרוסות מקבלים את נפח העוגה. "אם נפרוס לרוחב במקום לאורך, עדיין נגיע לנפח": זה כל הרעיון של החלפת סדר האינטגרציה.
- קבוצה [math]\displaystyle{ D\subseteq\mathbb R^2 }[/math] נקראת תחום סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] אם קיימים מספרים ממשיים [math]\displaystyle{ a<b }[/math] ופונקציות [math]\displaystyle{ g_1,g_2 }[/math] רציפות בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ g_1(x)\le g_2(x) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math], ומתקיים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}. }[/math]
- הצגה כזו של [math]\displaystyle{ D }[/math] נקראת ייצוג סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] של [math]\displaystyle{ D }[/math].
- קבוצה [math]\displaystyle{ D\subseteq\mathbb R^2 }[/math] נקראת תחום סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ y }[/math] אם קיימים מספרים ממשיים [math]\displaystyle{ c<d }[/math] ופונקציות [math]\displaystyle{ h_1,h_2 }[/math] רציפות בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [c,d] }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ h_1(y)\le h_2(y) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ y\in[c,d] }[/math], ומתקיים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}. }[/math]
- הצגה כזו של [math]\displaystyle{ D }[/math] נקראת ייצוג סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ y }[/math] של [math]\displaystyle{ D }[/math].
באינטגרלים "רגילים" בחדו"א 1 עיקר העבודה היא על הפונקציה: למצוא את הקדומה שלה. באינטגרלים מרובי משתנים עיקר העבודה היא על התחום.
- (א) יהי [math]\displaystyle{ D }[/math] תחום סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ x }[/math], עם הייצוג הסטנדרטי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}, }[/math]
- ותהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה רציפה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D f=\int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\right)dx. }[/math]
- (ב) יהי [math]\displaystyle{ D }[/math] תחום סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ y }[/math], עם הייצוג הסטנדרטי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}, }[/math]
- ותהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה רציפה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D }[/math]. אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D f=\int_c^d\left(\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,dx\right)dy. }[/math]
יהי [math]\displaystyle{ D }[/math] תחום סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] וגם לפי [math]\displaystyle{ y }[/math], עם הייצוגים הסטנדרטיים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \begin{gathered} D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\},\\ D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}, \end{gathered} }[/math]
ותהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה רציפה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D }[/math]. לפי הטענה הקודמת
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\right)dx=\int_c^d\left(\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,dx\right)dy, }[/math]
ולעיתים רק באחד משני הסדרים האינטגרל הפנימי ניתן לחישוב בעזרת פונקציה קדומה שהיא צירוף של פונקציות אלמנטריות. לכן:
- מציגים את [math]\displaystyle{ D }[/math] באופן סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] וגם באופן סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ y }[/math]. בכל ייצוג, עבור משתנה אחד מחפשים חסם תחתון וחסם עליון בכל התחום, ועבור המשתנה השני מחפשים חסמים בהינתן ערך מסוים של המשתנה הראשון.
- מחשבים את [math]\displaystyle{ \iint_D f }[/math] בסדר האינטגרציה שבו החישוב אפשרי.
תהי [math]\displaystyle{ V\subseteq\mathbb R^3 }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f(x,y,z) }[/math] פונקציה המוגדרת ב־[math]\displaystyle{ V }[/math]. האינטגרל המשולש של [math]\displaystyle{ f }[/math] על [math]\displaystyle{ V }[/math] מסומן [math]\displaystyle{ \iiint_V f }[/math] או [math]\displaystyle{ \iiint_V f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz }[/math]. כמו לאינטגרל הכפול, בקורס לא נתנו לו הגדרה מדויקת, אלא משמעות:
- אם חושבים על [math]\displaystyle{ V }[/math] כעל גוף תלת־ממדי ועל [math]\displaystyle{ f }[/math] כעל פונקציית הצפיפות שלו, האינטגרל [math]\displaystyle{ \iiint_V f }[/math] הוא המסה של הגוף.
- האינטגרל [math]\displaystyle{ \iiint_V 1\,dx\,dy\,dz }[/math] הוא הנפח של [math]\displaystyle{ V }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ V=\{(x,y,z)\mid(x,y)\in D,\ h_1(x,y)\le z\le h_2(x,y)\} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ D\subseteq\mathbb R^2 }[/math] תחום סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] או לפי [math]\displaystyle{ y }[/math], [math]\displaystyle{ h_1,h_2 }[/math] רציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D }[/math] ו־[math]\displaystyle{ h_1\le h_2 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ D }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ V }[/math], אזי
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iiint_V f=\iint_D\left(\int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\right)dx\,dy. }[/math]
איך פותרים
קביעת הגבולות (ייצוג סטנדרטי)
- סקיצה. מוצאים אלגברית את כל נקודות החיתוך בין העקומות שמוזכרות בשאלה. העקומות רציפות, ולכן לפי משפט ערך הביניים הן יכולות להחליף מקום רק בנקודת חיתוך; לכן בכל קטע בין שתי נקודות חיתוך סמוכות מספיק להציב נקודה אחת כדי לדעת מי מעל מי. "גם אם אתם לא יודעים איך הסקיצה נראית, עדיין אתם יודעים מי מעל מי, וזה כל מה שחשוב."
- המשתנה החיצוני. בוחרים משתנה, למשל [math]\displaystyle{ x }[/math], ונותנים לו את הטווח הרחב ביותר בכל התחום: [math]\displaystyle{ a\le x\le b }[/math]. אלה מספרים, ולרוב קוראים אותם מנקודות החיתוך או מהישרים שבשאלה.
- המשתנה הפנימי. מקבעים ערך של [math]\displaystyle{ x }[/math] ומעבירים קו מקביל לציר ה־[math]\displaystyle{ y }[/math]. הקו נכנס לתחום דרך העקומה התחתונה [math]\displaystyle{ y=g_1(x) }[/math] ויוצא דרך העליונה [math]\displaystyle{ y=g_2(x) }[/math], ואלה הגבולות של [math]\displaystyle{ y }[/math]: פונקציות של [math]\displaystyle{ x }[/math], לא מספרים. בייצוג לפי [math]\displaystyle{ y }[/math] הקו מקביל לציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math], ומחלצים את [math]\displaystyle{ x }[/math] מהמשוואות (למשל מ־[math]\displaystyle{ y=1-x^2 }[/math] מקבלים שתי פונקציות, [math]\displaystyle{ x=\pm\sqrt{1-y} }[/math]).
- אם בחלקים שונים של התחום הקו נכנס או יוצא דרך עקומות שונות, מחלקים את התחום לכמה תחומים סטנדרטיים ומחברים את האינטגרלים ("צריך לחלק את התחום לשניים", כמו בלוח).
- מחשבים את האינטגרל הפנימי (כש־[math]\displaystyle{ x }[/math] קבוע), ואחר כך את החיצוני.
מתי מחליפים את סדר האינטגרציה
- כשבאינטגרל הפנימי צריך פונקציה קדומה שאינה צירוף של פונקציות אלמנטריות, כמו [math]\displaystyle{ \int e^{y^2}dy }[/math], [math]\displaystyle{ \int\sin(y^2)\,dy }[/math] או [math]\displaystyle{ \int\frac{\sin y}{y}\,dy }[/math]. בסדר השני הגורם הזה הוא קבוע באינטגרל הפנימי, ואחרי האינטגרציה הפנימית נוצר לידו לעיתים קרובות בדיוק הגורם שמאפשר הצבה (דוגמה 4).
- כשבסדר אחד צריך לחלק את התחום לכמה חלקים ובסדר השני לא.
- כשהשאלה מבקשת במפורש "החליפו את סדר האינטגרציה".
איך: משחזרים את התחום מהגבולות הנתונים (סקיצה), ומציגים אותו מחדש באופן סטנדרטי לפי המשתנה השני. "שורה תחתונה: היכולת להציג תחום באופן סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] ואז להחליף לייצוג סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ y }[/math] היא יכולת טכנית קריטית."
שטח, נפח ומסה
- השטח של [math]\displaystyle{ D }[/math]: [math]\displaystyle{ \iint_D 1\,dx\,dy }[/math].
- נפח של "בית" שהרצפה שלו [math]\displaystyle{ D }[/math] והתקרה שלו בגובה [math]\displaystyle{ f(x,y)\ge0 }[/math]: [math]\displaystyle{ \iint_D f\,dx\,dy }[/math].
- נפח של גוף [math]\displaystyle{ V }[/math] שנמצא בין [math]\displaystyle{ z=h_1(x,y) }[/math] ל־[math]\displaystyle{ z=h_2(x,y) }[/math] מעל [math]\displaystyle{ D }[/math]: [math]\displaystyle{ \iiint_V 1\,dx\,dy\,dz=\iint_D\big(h_2-h_1\big)\,dx\,dy }[/math], כלומר יש שתי דרכים לחשב נפח.
- מסה: [math]\displaystyle{ \iint_D\rho }[/math] לתחום במישור עם צפיפות [math]\displaystyle{ \rho(x,y) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \iiint_V\rho }[/math] לגוף עם צפיפות [math]\displaystyle{ \rho(x,y,z) }[/math].
- תחום עגול (עיגול, טבעת, חצי עיגול), או [math]\displaystyle{ x^2+y^2 }[/math] בפונקציה: כדאי לעבור לקואורדינטות קוטביות, בדף על שינוי קואורדינטות.
דוגמאות פתורות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: פוביני במלבן
חשבו את הנפח מתחת לגרף של [math]\displaystyle{ f(x,y)=\sin x+\sin y }[/math] מעל המלבן [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid 0\le x\le\pi,\ 0\le y\le\frac{\pi}{2}\} }[/math].
ב־[math]\displaystyle{ D }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \sin x\ge0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sin y\ge0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f\ge0 }[/math] והנפח הוא [math]\displaystyle{ \iint_D f }[/math]. לפי משפט פוביני
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D f=\int_0^{\pi}\left(\int_0^{\pi/2}(\sin x+\sin y)\,dy\right)dx. }[/math]
באינטגרל הפנימי [math]\displaystyle{ x }[/math] קבוע: [math]\displaystyle{ \int_0^{\pi/2}(\sin x+\sin y)\,dy=\big[y\sin x-\cos y\big]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}\sin x+1 }[/math]. לכן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D f=\int_0^{\pi}\left(\frac{\pi}{2}\sin x+1\right)dx=\left[-\frac{\pi}{2}\cos x+x\right]_0^{\pi}=\frac{\pi}{2}+\pi+\frac{\pi}{2}=2\pi. }[/math]
מקור: לוח אודיסאה, שיעור 16 (5.6.26). בלוח הדוגמה התחילה עם [math]\displaystyle{ f=\sin(xy) }[/math], והוחלפה כי האינטגרל האחרון שהתקבל, [math]\displaystyle{ \int_0^{\pi}\frac{1-\cos(\pi x/2)}{x}dx }[/math], "בלתי חשיב".
דוגמה 2: שטח הרצפה ונפח הבית (מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד ג', שאלה 5)
לבית יש רצפה [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\ 0\le y\le x^2\} }[/math] ותקרה בגובה [math]\displaystyle{ f(x,y)=x }[/math]. (א) חשבו את שטח הרצפה. (ב) חשבו את נפח הבית.
הרצפה היא התחום שמתחת לפרבולה [math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math] ומעל ציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math], בין [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ x=1 }[/math]. היא כבר נתונה בייצוג סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ x }[/math], עם [math]\displaystyle{ g_1(x)=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g_2(x)=x^2 }[/math].
(א) [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D 1\,dx\,dy=\int_0^1\left(\int_0^{x^2}dy\right)dx=\int_0^1x^2\,dx=\frac13. }[/math]
(ב) [math]\displaystyle{ f=x\ge0 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ D }[/math], ולכן הנפח הוא
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D x\,dx\,dy=\int_0^1\left(\int_0^{x^2}x\,dy\right)dx=\int_0^1x^3\,dx=\frac14. }[/math]
בדיקה בסדר השני. [math]\displaystyle{ y }[/math] נע בין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], וישר אופקי בגובה [math]\displaystyle{ y }[/math] נכנס לתחום דרך הפרבולה, ב־[math]\displaystyle{ x=\sqrt y }[/math], ויוצא דרך הישר [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\ \sqrt y\le x\le1\} }[/math], ו־
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_0^1\left(\int_{\sqrt y}^1x\,dx\right)dy=\int_0^1\frac{1-y}{2}\,dy=\frac14. }[/math]
מקור: מועד ג' תשפ"ב (אודיסאה), שאלה 5 (
מבחן ·
פתרון). במבחן התבקש שטח הפנים הכולל של הבית; שטח הרצפה,
[math]\displaystyle{ \frac13 }[/math], הוא החלק הראשון בפתרון, והנפח הוא שאלה נוספת על אותו בית.
דוגמה 3: התחום בין פרבולה לישר, בשני הסדרים
התחום [math]\displaystyle{ D }[/math] הוא השטח הכלוא בין הפרבולה [math]\displaystyle{ y=1-x^2 }[/math] לבין הישר [math]\displaystyle{ y=-2 }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ \iint_D x^2\,dx\,dy }[/math], פעם בייצוג סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ x }[/math] ופעם לפי [math]\displaystyle{ y }[/math].
סקיצה. נקודות החיתוך: [math]\displaystyle{ 1-x^2=-2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x=\pm\sqrt3 }[/math]. ב־[math]\displaystyle{ x=0 }[/math] הפרבולה בגובה [math]\displaystyle{ 1>-2 }[/math], ולכן בין נקודות החיתוך הפרבולה מעל הישר.
לפי [math]\displaystyle{ x }[/math]. [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid -\sqrt3\le x\le\sqrt3,\ -2\le y\le1-x^2\} }[/math], ולכן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \iint_D x^2=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\left(\int_{-2}^{1-x^2}x^2\,dy\right)dx=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\left(3x^2-x^4\right)dx=2\left(3\sqrt3-\frac{9\sqrt3}{5}\right)=\frac{12\sqrt3}{5}. }[/math]
לפי [math]\displaystyle{ y }[/math]. הטווח של [math]\displaystyle{ y }[/math] בכל התחום הוא [math]\displaystyle{ -2\le y\le1 }[/math] (הקודקוד של הפרבולה בגובה [math]\displaystyle{ 1 }[/math]). ישר אופקי בגובה [math]\displaystyle{ y }[/math] נכנס דרך הענף השמאלי של הפרבולה ויוצא דרך הימני: מ־[math]\displaystyle{ y=1-x^2 }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ x=\pm\sqrt{1-y} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid -2\le y\le1,\ -\sqrt{1-y}\le x\le\sqrt{1-y}\} }[/math], ו־
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{-2}^{1}\left(\int_{-\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}}x^2\,dx\right)dy=\int_{-2}^{1}\frac23(1-y)^{3/2}\,dy=\frac23\left[-\frac25(1-y)^{5/2}\right]_{-2}^{1}=\frac{4}{15}\cdot3^{5/2}=\frac{12\sqrt3}{5}. }[/math]
אותה תשובה, כמו שצריך. כאן שני הסדרים אפשריים, והראשון קצת קל יותר.
מקור: לוח הנדסה, שיעור 15 (ההרצאה של 1.6.26,
45:59).
דוגמה 4: רק סדר אחד אפשרי (תרגיל 7 של הקורס, שאלה 4ד)
חשבו את [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_0^3\left(\int_{3x}^9\sin(y^2)\,dy\right)dx }[/math].
לאינטגרל הפנימי [math]\displaystyle{ \int\sin(y^2)\,dy }[/math] אין פונקציה קדומה שהיא צירוף של פונקציות אלמנטריות, ולכן מחליפים את סדר האינטגרציה.
התחום. [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid 0\le x\le3,\ 3x\le y\le9\} }[/math] הוא המשולש שקודקודיו [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math], [math]\displaystyle{ (0,9) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (3,9) }[/math]: בין ציר ה־[math]\displaystyle{ y }[/math], הישר [math]\displaystyle{ y=3x }[/math] והישר [math]\displaystyle{ y=9 }[/math].
לפי [math]\displaystyle{ y }[/math]. בכל התחום [math]\displaystyle{ 0\le y\le9 }[/math], וישר אופקי בגובה [math]\displaystyle{ y }[/math] נכנס לתחום בציר ה־[math]\displaystyle{ y }[/math] ([math]\displaystyle{ x=0 }[/math]) ויוצא בישר [math]\displaystyle{ y=3x }[/math], כלומר ב־[math]\displaystyle{ x=\frac y3 }[/math]. לכן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_0^3\left(\int_{3x}^9\sin(y^2)\,dy\right)dx=\int_0^9\left(\int_0^{y/3}\sin(y^2)\,dx\right)dy=\int_0^9\frac y3\sin(y^2)\,dy. }[/math]
עכשיו הגורם [math]\displaystyle{ y }[/math] מאפשר הצבה: [math]\displaystyle{ t=y^2 }[/math], [math]\displaystyle{ dt=2y\,dy }[/math], ו־[math]\displaystyle{ t }[/math] נע בין [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ 81 }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_0^9\frac y3\sin(y^2)\,dy=\frac16\int_0^{81}\sin t\,dt=\frac{1-\cos81}{6}. }[/math]
מקור:
תרגיל 7 של הקורס, שאלה 4ד (הפתרון כמו בגרסה הממוחשבת של התרגיל, "אינטגרל כפול 4"). בדיקה נומרית בסדר המקורי:
[math]\displaystyle{ \approx0.0372 }[/math] (הזווית
[math]\displaystyle{ 81 }[/math] ברדיאנים).
דוגמה 5: נפח ומסה כאינטגרל משולש
נביט בבית מדוגמה 2 כגוף [math]\displaystyle{ V=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\ 0\le z\le x\} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\ 0\le y\le x^2\} }[/math]. (א) חשבו את הנפח של [math]\displaystyle{ V }[/math] בעזרת אינטגרל משולש. (ב) חשבו את המסה של [math]\displaystyle{ V }[/math], אם הצפיפות שלו היא [math]\displaystyle{ \rho(x,y,z)=z }[/math].
[math]\displaystyle{ V }[/math] בדיוק בצורה שבהערה על האינטגרל המשולש, עם [math]\displaystyle{ h_1=0 }[/math], [math]\displaystyle{ h_2=x }[/math], ו־[math]\displaystyle{ D }[/math] תחום סטנדרטי לפי [math]\displaystyle{ x }[/math].
(א) [math]\displaystyle{ \displaystyle \iiint_V 1=\iint_D\left(\int_0^x1\,dz\right)dx\,dy=\iint_D x\,dx\,dy=\frac14, }[/math] כמו בדוגמה 2: הנפח כאינטגרל משולש על [math]\displaystyle{ 1 }[/math] שווה לנפח כאינטגרל כפול על גובה התקרה.
(ב) [math]\displaystyle{ \displaystyle \iiint_V z=\iint_D\left(\int_0^x z\,dz\right)dx\,dy=\int_0^1\left(\int_0^{x^2}\frac{x^2}{2}\,dy\right)dx=\int_0^1\frac{x^4}{2}\,dx=\frac{1}{10}. }[/math]
מקור: הבית ממועד ג' תשפ"ב, שאלה 5; העיקרון "יש לנו שתי דרכים לחשב נפח" מההרצאה של 5.6.26 (
1:11:26). המסה היא שאלה נוספת על אותו גוף.
טעויות נפוצות
- לתת טווח מספרי לשני המשתנים, למשל [math]\displaystyle{ -\sqrt3\le x\le\sqrt3,\ -2\le y\le1 }[/math] בדוגמה 3. "על המשתנה הראשון אתם באמת נותנים את הטווח הכי רחב, אבל אתם לא יכולים גם על השני, כי אז זה יוצר את המלבן."
- להחליף את סדר האינטגרציה רק על ידי החלפת [math]\displaystyle{ dx }[/math] ו־[math]\displaystyle{ dy }[/math] והחלפת הגבולות. גבולות פנימיים שתלויים ב־[math]\displaystyle{ x }[/math] אינם יכולים להיות גבולות חיצוניים; תמיד חוזרים לתחום ומציגים אותו מחדש.
- חסם של המשתנה החיצוני שתלוי במשתנה הפנימי: הגבולות החיצוניים הם מספרים, והפנימיים תלויים רק במשתנה החיצוני.
- כשמחלצים את [math]\displaystyle{ x }[/math] מ־[math]\displaystyle{ y=1-x^2 }[/math], לשכוח שיש שני ענפים, [math]\displaystyle{ x=\pm\sqrt{1-y} }[/math], או לבחור את הענף הלא נכון. הבחירה נעשית לפי הסקיצה.
- לקרוא ל־[math]\displaystyle{ \iint_D f }[/math] "נפח" כש־[math]\displaystyle{ f }[/math] מחליפה סימן: "בדיוק כמו בחדו"א 1, זה לא מודד בדיוק את הנפח. אם הפונקציה מתחת לציר, זה ימדוד מינוס."
- לבלבל בין [math]\displaystyle{ \iint_D f }[/math] (נפח או מסה) לבין [math]\displaystyle{ \iint_D 1 }[/math] (השטח של [math]\displaystyle{ D }[/math]).
שאלות נוספות ממבחנים
- מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד ג', שאלה 5 · שטח הפנים הכולל של הבית מדוגמה 2: רצפה, שלושה קירות ותקרה · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד א', שאלה 5 · בית שהרצפה שלו הריבוע [math]\displaystyle{ [0,1]\times[0,1] }[/math] והתקרה [math]\displaystyle{ e^x }[/math]; שטח התקרה הוא אינטגרל כפול על הריבוע (פוביני) · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ד מועד א', שאלה 5 · נפח של חצי כדור כאינטגרל משולש על [math]\displaystyle{ V=\{(x,y,z)\mid(x,y)\in D,\ 0\le z\le f(x,y)\} }[/math], בקואורדינטות כדוריות (פתור בדף על שינוי קואורדינטות) · מבחן · פתרון
- תרגיל 7 של הקורס, שאלות 4–5 · אינטגרלים כפולים במלבן ובמשולש, ושינוי סדר האינטגרציה. בשאלה 5ג, [math]\displaystyle{ \int_{-1}^{1}\int_{4x^3}^{\sqrt{17-x^2}}f\,dy\,dx }[/math], צריך לחלק את התחום לשניים: התשובה היא [math]\displaystyle{ \int_{-4}^{4}\int_{-1}^{\sqrt[3]{y/4}}f\,dx\,dy+\int_{4}^{\sqrt{17}}\int_{-\sqrt{17-y^2}}^{\sqrt{17-y^2}}f\,dx\,dy }[/math] · תרגיל
סרטונים
ראו גם
