בקצרה: את נקודות הקיצון המקומי של פונקציה בשני משתנים מחפשים בין הנקודות החשודות (הקריטיות), שבהן הגרדיאנט מתאפס: [math]\displaystyle{ f_x=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y=0 }[/math]. כל נקודה חשודה ממיינים לפי [math]\displaystyle{ \Delta=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 }[/math] (מבחן הנגזרת השנייה): אם [math]\displaystyle{ \Delta<0 }[/math] זו נקודת אוכף, ואם [math]\displaystyle{ \Delta>0 }[/math] זו נקודת מינימום מקומי כש־[math]\displaystyle{ f_{xx}>0 }[/math] ונקודת מקסימום מקומי כש־[math]\displaystyle{ f_{xx}<0 }[/math] (אם [math]\displaystyle{ \Delta=0 }[/math] המבחן אינו מכריע). את הקיצון המוחלט, הערך הגדול ביותר והקטן ביותר בתחום סגור וחסום, מוצאים כך: אוספים את הנקודות החשודות בפנים התחום ואת הנקודות החשודות על השפה, שמוצאים בשיטת כופלי לגראנז' ([math]\displaystyle{ \nabla f=\lambda\nabla g }[/math] על השפה [math]\displaystyle{ g=0 }[/math]), מציבים את כולן בפונקציה ומשווים את הערכים.
▶ ההרצאה: קיצון מקומי ומוחלט (הנדסה, 25.5.26)
הגדרות ומשפטים
קיצון מקומי
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה ותהי [math]\displaystyle{ (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 }[/math].
- [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] נקראת מקסימום מקומי של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ r>0 }[/math] כך שלכל נקודה [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] בעיגול [math]\displaystyle{ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2<r^2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x,y)\le f(x_0,y_0) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \exists r>0\ \ \forall (x,y)\in\mathbb R^2:\ \ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2<r^2\ \Rightarrow\ f(x,y)\le f(x_0,y_0). }[/math]
- [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] נקראת מינימום מקומי של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ r>0 }[/math] כך שלכל נקודה [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] בעיגול [math]\displaystyle{ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2<r^2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x,y)\ge f(x_0,y_0) }[/math].
- [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] נקראת נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם היא מקסימום מקומי או מינימום מקומי.
במילים: הסביבה היא עיגול שלם שמרכזו [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math], ולכן נקודה על שפת תחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה נקודת קיצון מקומית.
תהי [math]\displaystyle{ (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה שהנגזרות החלקיות שלה [math]\displaystyle{ f_x(x_0,y_0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y(x_0,y_0) }[/math] קיימות.
אם [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \nabla f(x_0,y_0)=(0,0) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f_x(x_0,y_0)=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y(x_0,y_0)=0 }[/math].
ההפך אינו נכון: ייתכן ש [math]\displaystyle{ \nabla f(x_0,y_0)=(0,0) }[/math] אך [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] אינה נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה, ותהי [math]\displaystyle{ (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 }[/math] נקודה שבה הנגזרות החלקיות [math]\displaystyle{ f_x(x_0,y_0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y(x_0,y_0) }[/math] קיימות. הנקודה [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] נקראת נקודה חשודה (לקיצון מקומי) של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם [math]\displaystyle{ \nabla f(x_0,y_0)=(0,0) }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה. נקודה חשודה של [math]\displaystyle{ f }[/math] שאינה נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math] נקראת נקודת אוכף של [math]\displaystyle{ f }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה. בכל נקודה [math]\displaystyle{ (x,y)\in\mathbb R^2 }[/math] שבה הנגזרות החלקיות מסדר שני [math]\displaystyle{ f_{xx} }[/math], [math]\displaystyle{ f_{xy} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_{yy} }[/math] קיימות, נסמן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \Delta(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-f_{xy}^2(x,y). }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ (x_0,y_0)\in\mathbb R^2 }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה שהנגזרות החלקיות שלה מסדר שני קיימות ורציפות בסביבה של [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math], כך ש [math]\displaystyle{ \nabla f(x_0,y_0)=(0,0) }[/math].
- (א) אם [math]\displaystyle{ \Delta(x_0,y_0)>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_{xx}(x_0,y_0)>0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] מינימום מקומי של [math]\displaystyle{ f }[/math].
- (ב) אם [math]\displaystyle{ \Delta(x_0,y_0)>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_{xx}(x_0,y_0)<0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] מקסימום מקומי של [math]\displaystyle{ f }[/math].
- (ג) אם [math]\displaystyle{ \Delta(x_0,y_0)<0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] נקודת אוכף של [math]\displaystyle{ f }[/math].
במילים: אם [math]\displaystyle{ \Delta(x_0,y_0)=0 }[/math], המבחן אינו אומר דבר: הנקודה יכולה להיות מינימום מקומי, מקסימום מקומי או נקודת אוכף.
[math]\displaystyle{ \Delta }[/math] היא הדטרמיננטה של מטריצת הנגזרות השניות [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\ f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix} }[/math] (ההסיאן), כשהנגזרות המעורבות שוות. המבחן נובע מפולינום טיילור מסדר שני: בנקודה חשודה [math]\displaystyle{ f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)\approx\frac12\big(f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2\big) }[/math], והסימן של הביטוי הזה קבוע כש־[math]\displaystyle{ \Delta>0 }[/math].
קיצון מוחלט
תהי [math]\displaystyle{ D\subseteq\mathbb R^2 }[/math] קבוצה סגורה וחסומה שאינה ריקה, ותהי [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] פונקציה רציפה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ D }[/math].
אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] מקבלת מקסימום ומינימום ב־[math]\displaystyle{ D }[/math].
כלומר, קיימות נקודות [math]\displaystyle{ (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in D }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(x_2,y_2)\le f(x,y)\le f(x_1,y_1) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ (x,y)\in D }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ D\subseteq\mathbb R^2 }[/math], ותהיינה [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(x,y) }[/math] פונקציות שהנגזרות החלקיות שלהן קיימות ורציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ \mathbb R^2 }[/math], כך שהשפה של [math]\displaystyle{ D }[/math] היא קו הגובה של [math]\displaystyle{ g }[/math] בגובה [math]\displaystyle{ 0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \{(x,y)\in\mathbb R^2\mid g(x,y)=0\} }[/math]. הנקודות החשודות על השפה של [math]\displaystyle{ D }[/math] (הנקודות שבהן [math]\displaystyle{ f }[/math] עשויה לקבל את המקסימום או את המינימום שלה על השפה) הן:
- הנקודות [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] שבהן [math]\displaystyle{ g(x,y)=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \nabla g(x,y)=(0,0) }[/math];
- הנקודות [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] שעבורן קיים [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb R }[/math] כך ש
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \begin{cases} f_x(x,y)=\lambda\, g_x(x,y),\\ f_y(x,y)=\lambda\, g_y(x,y),\\ g(x,y)=0,\end{cases} }[/math]
- כלומר [math]\displaystyle{ \nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(x,y)=0 }[/math].
במילים: בנקודת קיצון של [math]\displaystyle{ f }[/math] על השפה שבה [math]\displaystyle{ \nabla g\ne(0,0) }[/math], הגרדיאנטים [math]\displaystyle{ \nabla f }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \nabla g }[/math] מקבילים, כי שניהם מאונכים לשפה. בנקודות שבהן [math]\displaystyle{ \nabla g=(0,0) }[/math] אין לכך הצדקה, ולכן הן נבדקות בנפרד.
תהי [math]\displaystyle{ D\subseteq\mathbb R^2 }[/math] קבוצה סגורה וחסומה שאינה ריקה, ותהיינה [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ g(x,y) }[/math] פונקציות שהנגזרות החלקיות שלהן קיימות ורציפות בכל נקודה של [math]\displaystyle{ \mathbb R^2 }[/math], כך שהשפה של [math]\displaystyle{ D }[/math] היא קו הגובה של [math]\displaystyle{ g }[/math] בגובה [math]\displaystyle{ 0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \{(x,y)\in\mathbb R^2\mid g(x,y)=0\} }[/math]. לפי משפט ויירשטראס, [math]\displaystyle{ f }[/math] מקבלת ב־[math]\displaystyle{ D }[/math] מקסימום ומינימום. כדי למצוא אותם:
- (א) מוצאים את הנקודות החשודות של [math]\displaystyle{ f }[/math] בפנים התחום, כלומר פותרים את המשוואה [math]\displaystyle{ \nabla f(x,y)=(0,0) }[/math] ושומרים רק את הפתרונות שהם נקודות פנימיות של [math]\displaystyle{ D }[/math].
- (ב) מוצאים את הנקודות על השפה של [math]\displaystyle{ D }[/math] שבהן [math]\displaystyle{ \nabla g(x,y)=(0,0) }[/math].
- (ג) מוצאים בעזרת כופלי לגראנז' את הנקודות [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] על השפה של [math]\displaystyle{ D }[/math] שעבורן קיים [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y) }[/math].
- (ד) מציבים ב־[math]\displaystyle{ f }[/math] את כל הנקודות שנמצאו בשלושת השלבים הקודמים. הערך הגדול ביותר שמתקבל הוא המקסימום של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ D }[/math], והערך הקטן ביותר הוא המינימום של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ D }[/math].
כשהשפה מורכבת מכמה חלקים (למשל צלעות של מצולע), מטפלים בכל חלק בנפרד, ו"כל נקודת חיתוך בין שני חלקים היא נקודה חשודה על השפה, אוטומטית" (ההערה בדף הקורס). על חלק של השפה שהוא גרף [math]\displaystyle{ y=y_i(x) }[/math] אפשר גם להציב: [math]\displaystyle{ h_i(x)=f(x,y_i(x)) }[/math] היא פונקציה של משתנה אחד, ומחפשים את הנקודות שבהן [math]\displaystyle{ h_i'(x)=0 }[/math] (שיטה 6.2.4).
איך פותרים
קיצון מקומי: מציאה ומיון של נקודות חשודות
- מחשבים את [math]\displaystyle{ f_x }[/math] ואת [math]\displaystyle{ f_y }[/math] ופותרים את מערכת המשוואות [math]\displaystyle{ f_x=0 }[/math], [math]\displaystyle{ f_y=0 }[/math]. הפתרונות הם הנקודות החשודות. המערכת בדרך כלל אינה לינארית: מוציאים גורם משותף ומפצלים למקרים.
- מחשבים את [math]\displaystyle{ f_{xx} }[/math], [math]\displaystyle{ f_{xy} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_{yy} }[/math], ואת [math]\displaystyle{ \Delta=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 }[/math].
- מציבים כל נקודה חשודה. אם [math]\displaystyle{ \Delta<0 }[/math] זו נקודת אוכף. אם [math]\displaystyle{ \Delta>0 }[/math] זה קיצון מקומי: מינימום כש־[math]\displaystyle{ f_{xx}>0 }[/math] ומקסימום כש־[math]\displaystyle{ f_{xx}<0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \Delta=0 }[/math] המבחן אינו אומר דבר, ובודקים ישירות את הסימן של [math]\displaystyle{ f(x,y)-f(x_0,y_0) }[/math] ליד הנקודה.
קיצון מוחלט בתחום סגור וחסום
- מוודאים שהתחום [math]\displaystyle{ D }[/math] סגור וחסום ושהפונקציה רציפה בו; לפי משפט ויירשטראס יש ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] מקסימום ומינימום ב־[math]\displaystyle{ D }[/math].
- פנים התחום: פותרים [math]\displaystyle{ \nabla f=(0,0) }[/math] ושומרים רק את הנקודות שבתוך התחום. אין צורך למיין אותן בעזרת [math]\displaystyle{ \Delta }[/math].
- השפה: כותבים את השפה כקו גובה [math]\displaystyle{ g(x,y)=0 }[/math] (לעיגול [math]\displaystyle{ x^2+y^2\le1 }[/math]: [math]\displaystyle{ g=x^2+y^2-1 }[/math]), ומוסיפים את הנקודות על השפה שבהן [math]\displaystyle{ \nabla g=(0,0) }[/math].
- כופלי לגראנז': פותרים את המערכת [math]\displaystyle{ f_x=\lambda g_x }[/math], [math]\displaystyle{ f_y=\lambda g_y }[/math], [math]\displaystyle{ g=0 }[/math]: שלוש משוואות בשלושה נעלמים [math]\displaystyle{ x,y,\lambda }[/math]. לא מחלקים בביטוי שעשוי להתאפס: מעבירים אגף, מוציאים גורם משותף ובודקים כל מקרה, או מבודדים את [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] אחרי שמוכיחים שמותר לחלק. בסוף שומרים רק את הנקודות [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]; הערך של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] לא מעניין.
- אם השפה מורכבת מכמה חלקים, מוצאים נקודות חשודות על כל חלק (בלגראנז' או בהצבה), ומוסיפים את נקודות החיתוך בין החלקים.
- מציבים ב־[math]\displaystyle{ f }[/math] את כל הנקודות שנאספו: הערך הגדול ביותר הוא המקסימום, והקטן ביותר הוא המינימום. כך מבדילים בין מקסימום למינימום בבעיית קיצון מוחלט, ולא לפי [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] או לפי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
דוגמאות פתורות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: ארבע נקודות חשודות: מינימום, מקסימום ושתי נקודות אוכף (מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד א', שאלה 4ב)
מצאו ומיינו את הנקודות החשודות של [math]\displaystyle{ f(x,y)=x^2+x^3-y+y^3+1 }[/math] (מקסימום מקומי, מינימום מקומי או אוכף).
נקודות חשודות. [math]\displaystyle{ f }[/math] פולינום, ולכן הנגזרות החלקיות שלה קיימות ורציפות בכל נקודה. פותרים
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \begin{cases}f_x=2x+3x^2=x(2+3x)=0\\ f_y=-1+3y^2=0\end{cases} }[/math]
ומקבלים [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ x=-\frac23 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ y=\pm\frac1{\sqrt3} }[/math]: ארבע נקודות חשודות.
מיון. [math]\displaystyle{ f_{xx}=2+6x }[/math], [math]\displaystyle{ f_{yy}=6y }[/math], [math]\displaystyle{ f_{xy}=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \Delta(x,y)=(2+6x)\cdot6y }[/math]. הנגזרות מסדר שני רציפות, ולפי משפט 6.1.6:
| נקודה |
[math]\displaystyle{ f_{xx}=2+6x }[/math] |
[math]\displaystyle{ f_{yy}=6y }[/math] |
[math]\displaystyle{ \Delta }[/math] |
סוג
|
| [math]\displaystyle{ \left(0,\frac1{\sqrt3}\right) }[/math] |
[math]\displaystyle{ 2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ 2\sqrt3 }[/math] |
[math]\displaystyle{ 4\sqrt3>0 }[/math] |
מינימום מקומי ([math]\displaystyle{ f_{xx}>0 }[/math])
|
| [math]\displaystyle{ \left(0,-\frac1{\sqrt3}\right) }[/math] |
[math]\displaystyle{ 2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ -2\sqrt3 }[/math] |
[math]\displaystyle{ -4\sqrt3<0 }[/math] |
נקודת אוכף
|
| [math]\displaystyle{ \left(-\frac23,\frac1{\sqrt3}\right) }[/math] |
[math]\displaystyle{ -2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ 2\sqrt3 }[/math] |
[math]\displaystyle{ -4\sqrt3<0 }[/math] |
נקודת אוכף
|
| [math]\displaystyle{ \left(-\frac23,-\frac1{\sqrt3}\right) }[/math] |
[math]\displaystyle{ -2 }[/math] |
[math]\displaystyle{ -2\sqrt3 }[/math] |
[math]\displaystyle{ 4\sqrt3>0 }[/math] |
מקסימום מקומי ([math]\displaystyle{ f_{xx}<0 }[/math])
|
דוגמה 2: אינסוף נקודות חשודות (מבחן אודיסאה תשפ"ה מועד א', שאלה 4ב)
מצאו וסווגו את הנקודות החשודות לקיצון מקומי של [math]\displaystyle{ f(x,y)=(1+e^y)\cos x-ye^y }[/math]. חלקו למקרים.
נקודות חשודות. [math]\displaystyle{ f_x=-(1+e^y)\sin x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y=e^y\cos x-(e^y+ye^y)=e^y(\cos x-1-y) }[/math]. כיוון ש־[math]\displaystyle{ 1+e^y>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ e^y>0 }[/math], [math]\displaystyle{ f_x=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \sin x=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x=\pi k }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k\in\mathbb Z }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f_y=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ y=\cos x-1 }[/math]. כיוון ש־[math]\displaystyle{ \cos(\pi k)=(-1)^k }[/math], הנקודות החשודות הן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \big(\pi k,(-1)^k-1\big),\qquad k\in\mathbb Z, }[/math]
כלומר [math]\displaystyle{ (\pi k,0) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k }[/math] זוגי ו־[math]\displaystyle{ (\pi k,-2) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k }[/math] אי־זוגי.
מיון. הנגזרות מסדר שני רציפות: [math]\displaystyle{ f_{xx}=-(1+e^y)\cos x }[/math], [math]\displaystyle{ f_{xy}=-e^y\sin x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_{yy}=e^y(\cos x-1-y)-e^y=e^y(\cos x-2-y) }[/math]. בנקודה חשודה [math]\displaystyle{ \sin x=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \cos x-y=1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f_{xy}=0 }[/math], [math]\displaystyle{ f_{yy}=-e^y }[/math] ו־
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \Delta=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=(1+e^y)\,e^y\cos(\pi k)=(1+e^y)\,e^y\,(-1)^k . }[/math]
- [math]\displaystyle{ k }[/math] אי־זוגי: [math]\displaystyle{ \Delta<0 }[/math], ולכן הנקודות [math]\displaystyle{ (\pi k,-2) }[/math] הן נקודות אוכף.
- [math]\displaystyle{ k }[/math] זוגי: [math]\displaystyle{ \Delta>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_{xx}(\pi k,0)=-2\cos(\pi k)=-2<0 }[/math], ולכן הנקודות [math]\displaystyle{ (\pi k,0) }[/math] הן נקודות מקסימום מקומי.
לפונקציה יש אינסוף נקודות מקסימום מקומי, ואין לה אף נקודת מינימום מקומי (כל נקודת מינימום מקומי היא נקודה חשודה, לפי משפט פרמה).
דוגמה 3: קיצון מקומי וקיצון מוחלט בעיגול, עם כופלי לגראנז' (מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד ב', שאלה 4)
נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x,y)=x^2+xy+y^2 }[/math].
(א) מצאו ומיינו את הנקודות החשודות של [math]\displaystyle{ f }[/math].
(ב) מצאו את הערך המקסימלי ואת הערך המינימלי של [math]\displaystyle{ f }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\} }[/math].
(א) [math]\displaystyle{ f_x=2x+y }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_y=x+2y }[/math]. מהמשוואה [math]\displaystyle{ 2x+y=0 }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ y=-2x }[/math], ואז [math]\displaystyle{ x+2y=-3x=0 }[/math]; לכן הנקודה החשודה היחידה היא [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math]. הנגזרות מסדר שני קבועות: [math]\displaystyle{ f_{xx}=2 }[/math], [math]\displaystyle{ f_{xy}=1 }[/math], [math]\displaystyle{ f_{yy}=2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \Delta=2\cdot2-1^2=3>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f_{xx}=2>0 }[/math]: הנקודה [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] היא מינימום מקומי.
(ב) [math]\displaystyle{ D }[/math] הוא עיגול סגור וחסום ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה, ולכן לפי משפט ויירשטראס יש ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] מקסימום ומינימום ב־[math]\displaystyle{ D }[/math]. נפעל לפי שיטה 6.2.6.
פנים התחום: הנקודה החשודה [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] נמצאת בפנים [math]\displaystyle{ D }[/math].
השפה: השפה היא קו הגובה [math]\displaystyle{ g(x,y)=x^2+y^2-1=0 }[/math]. [math]\displaystyle{ \nabla g=(2x,2y) }[/math] מתאפס רק ב־[math]\displaystyle{ (0,0) }[/math], שאינה על השפה. משוואות כופלי לגראנז':
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \begin{cases}2x+y=2\lambda x\\ x+2y=2\lambda y\\ x^2+y^2=1\end{cases} }[/math]
מהמשוואה הראשונה [math]\displaystyle{ y=2x(\lambda-1) }[/math], ומהשנייה [math]\displaystyle{ x=2y(\lambda-1) }[/math]. נציב את השנייה בראשונה: [math]\displaystyle{ y=4y(\lambda-1)^2 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ y\big(1-4(\lambda-1)^2\big)=0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ y=0 }[/math] אזי גם [math]\displaystyle{ x=2y(\lambda-1)=0 }[/math], בסתירה למשוואה השלישית. לכן [math]\displaystyle{ (\lambda-1)^2=\frac14 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \lambda=\frac32 }[/math] או [math]\displaystyle{ \lambda=\frac12 }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \lambda=\frac32 }[/math]: [math]\displaystyle{ y=x }[/math], ומהמשוואה השלישית [math]\displaystyle{ (x,y)=\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right) }[/math] או [math]\displaystyle{ \left(-\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right) }[/math].
- [math]\displaystyle{ \lambda=\frac12 }[/math]: [math]\displaystyle{ y=-x }[/math], ומהמשוואה השלישית [math]\displaystyle{ (x,y)=\left(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right) }[/math] או [math]\displaystyle{ \left(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right) }[/math].
הצבה: [math]\displaystyle{ f(0,0)=0 }[/math]; בשתי הנקודות שבהן [math]\displaystyle{ y=x }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ \frac12+\frac12+\frac12=\frac32 }[/math]; בשתי הנקודות שבהן [math]\displaystyle{ y=-x }[/math] מתקבל [math]\displaystyle{ \frac12-\frac12+\frac12=\frac12 }[/math].
לכן המקסימום של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב־[math]\displaystyle{ D }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac32 }[/math] והמינימום הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. הערך [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math] אינו קיצון מוחלט, אף שהנקודות שלו פותרות את משוואות לגראנז': השיטה נותנת רק נקודות חשודות.
דוגמה 4: הטמפרטורה בחוף: המינימום בפנים, המקסימום על השפה (מבחן הנדסה תשפ"ה מועד א', שאלה 4)
יואב עומד בסוכת המציל בנקודה [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math], ופונקציית הטמפרטורה של חול הים היא [math]\displaystyle{ f(x,y)=32+x^2+y^2+y }[/math].
(א) לאיזה כיוון ילך יואב, אם הוא רוצה ללכת בכיוון שבו הטמפרטורה עולה בקצב המהיר ביותר?
(ב) מצאו את הטמפרטורה הגבוהה ביותר ואת הטמפרטורה הנמוכה ביותר בתחום [math]\displaystyle{ D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\} }[/math].
(א) בכיוון הגרדיאנט (מסקנה 5.2.5): [math]\displaystyle{ \nabla f=(2x,2y+1) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \nabla f(0,0)=(0,1) }[/math], כלומר בכיוון החיובי של ציר [math]\displaystyle{ y }[/math].
(ב) פנים התחום: [math]\displaystyle{ \nabla f=(0,0) }[/math] רק בנקודה [math]\displaystyle{ \left(0,-\frac12\right) }[/math], והיא בפנים [math]\displaystyle{ D }[/math], כי [math]\displaystyle{ 0^2+\left(-\frac12\right)^2<1 }[/math].
השפה: [math]\displaystyle{ g=x^2+y^2-1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \nabla g=(2x,2y)\ne(0,0) }[/math] על המעגל. משוואות כופלי לגראנז':
- [math]\displaystyle{ \displaystyle \begin{cases}2x=2\lambda x\\ 2y+1=2\lambda y\\ x^2+y^2=1\end{cases} }[/math]
"כאשר מדגדג בנו הצורך לצמצם – לא נצמצם – נעביר אגף ונוציא גורם משותף": מהמשוואה הראשונה [math]\displaystyle{ x(1-\lambda)=0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \lambda=1 }[/math], המשוואה השנייה היא [math]\displaystyle{ 2y+1=2y }[/math], סתירה. לכן [math]\displaystyle{ x=0 }[/math], ומהמשוואה השלישית [math]\displaystyle{ y=\pm1 }[/math]: הנקודות [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ (0,-1) }[/math].
הצבה: [math]\displaystyle{ f\left(0,-\frac12\right)=32+\frac14-\frac12=31.75 }[/math], [math]\displaystyle{ f(0,1)=34 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(0,-1)=32 }[/math].
הטמפרטורה הגבוהה ביותר ב־[math]\displaystyle{ D }[/math] היא [math]\displaystyle{ 34 }[/math], בנקודה [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math], והנמוכה ביותר היא [math]\displaystyle{ 31.75 }[/math], בנקודה הפנימית [math]\displaystyle{ \left(0,-\frac12\right) }[/math]. מי ששוכח את פנים התחום מקבל מינימום שגוי, [math]\displaystyle{ 32 }[/math].
הציטוט: מהפתרון של מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד ג', שאלה 4.
טעויות נפוצות
- למיין את הנקודות החשודות בעזרת [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] בבעיית קיצון מוחלט. שם לא צריך את [math]\displaystyle{ \Delta }[/math]: מציבים את כל הנקודות החשודות ומשווים ערכים. וגם: מקסימום מקומי אינו בהכרח המקסימום בתחום.
- לשכוח את פנים התחום או את השפה (בדוגמה 4 המינימום בפנים והמקסימום על השפה), או לשמור נקודה חשודה שנמצאת מחוץ לתחום.
- לחלק ב־[math]\displaystyle{ x }[/math] או ב־[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] במשוואות לגראנז' כשהם עשויים להיות [math]\displaystyle{ 0 }[/math], וכך לאבד פתרונות; לשכוח את הנקודות על השפה שבהן [math]\displaystyle{ \nabla g=(0,0) }[/math], או את נקודות החיתוך כשהשפה מורכבת מכמה חלקים.
- לחשוב ש־[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] קובע אם זו נקודת מקסימום או מינימום. [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא רק "הפרופורציה בין הגרדיאנטים, שלא אכפת לנו ממנה בכלל"; את הסוג קובעים בהצבה.
- להסיק מ־[math]\displaystyle{ \Delta=0 }[/math] שאין קיצון. בראשית [math]\displaystyle{ \Delta=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x^4+y^4 }[/math], [math]\displaystyle{ -x^4-y^4 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x^4-y^4 }[/math], והראשונה מקבלת שם מינימום, השנייה מקסימום, והשלישית נקודת אוכף.
- לשכוח שגם בנקודה שבה הנגזרות החלקיות אינן קיימות יכול להיות קיצון: [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2} }[/math] מקבלת מינימום ב־[math]\displaystyle{ (0,0) }[/math], אבל [math]\displaystyle{ f_x(0,0) }[/math] אינה קיימת שם (משפט פרמה מניח שהנגזרות החלקיות קיימות).
שאלות נוספות ממבחנים
- מבחן אודיסאה תשפ"ג מועד א', שאלה 4ב: הנקודות החשודות של [math]\displaystyle{ x^2+2xy+y^3 }[/math]: נקודת אוכף ב־[math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] ומינימום מקומי ב־[math]\displaystyle{ \left(-\frac23,\frac23\right) }[/math] · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ד מועד א', שאלה 4ב: [math]\displaystyle{ x^2-y^2+ax+by }[/math] עם פרמטרים: נקודת אוכף אחת, לכל [math]\displaystyle{ a,b }[/math] · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ב מועד ג', שאלה 4: [math]\displaystyle{ \frac1{x^2+y^2+1} }[/math]: מקסימום מקומי, וקיצון מוחלט בעיגול היחידה, שבו כל נקודות השפה פותרות את משוואות לגראנז' · מבחן · פתרון
- מבחן אודיסאה תשפ"ג מועד ב', שאלה 4א: [math]\displaystyle{ x-2y }[/math] בעיגול היחידה: אין נקודות חשודות בפנים, ולגראנז' נותן את הערכים [math]\displaystyle{ \pm\sqrt5 }[/math] · מבחן · פתרון
- מבחן דמה אודיסאה תשפ"ב, שאלה 4ב: [math]\displaystyle{ 1-\sqrt{x^2+y^2} }[/math] בעיגול [math]\displaystyle{ (x-1)^2+y^2\le\frac12 }[/math], שהראשית, שבה [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה דיפרנציאבילית, נמצאת מחוצה לו · מבחן · פתרון
- מבחן הנדסה תשפ"ה מועד ב', שאלה 4ב: [math]\displaystyle{ x^2+xy+\frac14y^2 }[/math] בעיגול היחידה · מבחן (הפתרון אינו באתר; התשובה: המקסימום [math]\displaystyle{ \frac54 }[/math], והמינימום [math]\displaystyle{ 0 }[/math], שמתקבל לאורך הקטע [math]\displaystyle{ y=-2x }[/math] שבתוך העיגול)
- תרגילים: תרגיל 6 (הנדסה, תשע"ו): פולינום טיילור וקיצון מקומי · תרגיל 7: קיצון מוחלט ואינטגרלים כפולים ומשולשים
סרטונים
ראו גם
