התכנסות במ"ש
התכנסות במידה שווה (במ"ש) היא חיזוק של מושג ההתכנסות הנקודתית של סדרות וטורי פונקציות, המבטיח שקצב ההתכנסות אחיד על פני כל התחום ולא רק בכל נקודה בנפרד. המושג נלמד בקורסי אינפי 2 / חדו"א 2, ומאפשר להעביר תכונות כמו רציפות ואינטגרביליות מאיברי הסדרה לפונקציית הגבול.
הגדרה
עד כה הגדרנו התכנסות נקודתית של סדרת וטור פונקציות לפונקצית הגבול. ניתן לנסח התכנסות סדרת פונקציות נקודתית בכלל הלוגי הבא:
- [math]\displaystyle{ \forall x_0\in D\forall \epsilon >0 \exists N_{x_0,\epsilon}\forall n>N_{x_0,\epsilon}:|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon }[/math]
כאשר D הוא תחום ההגדרה של פונקצית הגבול.
אנו אומרים כי סדרת הפונקציות מתכנסת במידה שווה (במ"ש) בתחום [math]\displaystyle{ A\subseteq D }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ N_\epsilon }[/math] המתאים לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math]. כלומר מתקיים התנאי הלוגי הבא:
- [math]\displaystyle{ \forall \epsilon >0\exists N_\epsilon\forall n>N_\epsilon \forall x\in A:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon }[/math]
ניתן גם לומר שסדרת פונקציות מתכנסת במידה שווה אם לכל אפסילון קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל הפונקציות נמצאות בין פונקצית הגבול פחות אפסילון לפונקצית הגבול ועוד אפסילון.
מסמנים התכנסות במ"ש: [math]\displaystyle{ f_n(x)\rightrightarrows f(x) }[/math]
תנאי שקול
סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] מתכנסת במ"ש לפונקציה הגבול [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בתחום A אם"ם
- [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|\Big]=0 }[/math]
דוגמאות
1.
ראינו כי [math]\displaystyle{ x^n\rightarrow 0 }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math]. האם התכנסות בתחום זה במ"ש?
- [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in (-1,1)}|x^n-0|\Big]=1\neq 0 }[/math]
ולכן ההתכנסות בתחום זה אינה במ"ש
2.
קל לוודא כי [math]\displaystyle{ x^n-x^{n+1}\rightarrow 0 }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ A=(0,1) }[/math]. האם זו התכנסות במ"ש?
- [math]\displaystyle{ \sup_{x\in A}|x^n-x^{n+1}|=\Big[\frac{n}{n+1}\Big]^n(1-\frac{n}{n+1})\rightarrow 0 }[/math]
ולכן זו התכנסות במ"ש. שימו לב שאת הסופרמום מצאנו באמצעות חקירת פונקציות