קמירות

בקצרה: פונקציה גזירה [math]\displaystyle{ f }[/math] קמורה כלפי מעלה בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] אם קיימת סביבה של [math]\displaystyle{ a }[/math] שבה הגרף נמצא מעל המשיק שם ([math]\displaystyle{ f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a) }[/math]); קמורה כלפי מטה אם מתחת למשיק. נבדק בדרך כלל לפי סימן הנגזרת השנייה.

קמירות היא תכונה גיאומטרית של גרף פונקציה, המתארת האם הוא נמצא מעל או מתחת לקו המשיק בכל נקודה. המושג משמש לניתוח נקודות פיתול וקיצון, ונלמד בקורסי אינפי 1-2 / חדו"א 1-2 לצד מבחן הנגזרת השנייה.

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית הגזירה בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] . אם קיימת סביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] , אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] .

באופן דומה, אם קיימת סביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] , אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מטה ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] .

(ראו גם נקודת פיתול.)

תנאי מספיק

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה פעמיים ברציפות בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] , והנגזרת השניה חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] . אם הנגזרת השניה שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע.

הוכחה

לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה:

[math]\displaystyle{ f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2 }[/math]

מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב- [math]\displaystyle{ a }[/math] קיימת סביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] עבורה לכל [math]\displaystyle{ c }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f''(c)>0 }[/math] . באופן דומה עבור נגזרת שניה שלילית.