אסימפטוטה משופעת
אסימפטוטה משופעת (הנקראת גם אסימפטוטה אלכסונית) היא קו ישר משופע שאליו הגרף של פונקציה מתקרב כאשר [math]\displaystyle{ x\to\pm\infty }[/math], והיא הכללה של אסימפטוטה מאוזנת לפונקציות שאינן מתכנסות לגבול סופי. הדף מסביר כיצד למצוא את שיפוע האסימפטוטה ואת נקודת החיתוך שלה עם ציר y.
פונקציה בעלת אסימפטוטה משופעת הנה פונקציה ששואפת להיות קו ישר באינסוף. פונקציה בעלת גבול סופי באינסוף שואפת לקו ישר מאוזן, אך ישנן פונקציה השואפות לקו ישר משופע.
הגדרה
אומרים כי לפונקציה ממשית [math]\displaystyle{ f }[/math] קיימת אסימפטוטה משופעת באינסוף אם קיימים קבועים [math]\displaystyle{ a,b }[/math] כך ש:
- [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax-b\big]=0 }[/math]
במקרה זה האסימפטוטה המשופעת באינסוף הנה [math]\displaystyle{ y=ax+b }[/math] .
באופן דומה, לפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] קיימת אסימפטוטה משופעת במינוס אינסוף אם קיימים קבועים [math]\displaystyle{ a,b }[/math] כך ש:
- [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to-\infty}\big[f(x)-ax-b\big]=0 }[/math]
מציאת אסימפטוטה משופעת
נניח וקיימת אסימפוטטה משופעת, אזי
- [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax-b\big]=0 }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\left[\dfrac{f(x)-ax-b}{x}\right]=0 }[/math]
ולכן
- [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a }[/math]
כלומר:
- שלב ראשון: שיפוע האסימפטוטה המשופעת הנו [math]\displaystyle{ a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x} }[/math] . אם הגבול אינו קיים אין אסימפטוטה משופעת.
- שלב שני: חיתוך האסימפטוטה עם ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] הנו [math]\displaystyle{ b=\lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big] }[/math] . אם הגבול אינו קיים אין אסימפטוטה משופעת.
עבור [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] התהליך דומה.