איחוד וחיתוך
דף זה עוסק בהכללה של פעולות האיחוד והחיתוך משתי קבוצות לאיחוד וחיתוך של אוסף כלשהו (סופי או אינסופי) של קבוצות, המסומן באמצעות אינדקס. ההכללה נלמדת בתחילת קורסי מבוא לתורת הקבוצות ואינפי / חדו"א.
הכללה לאיחודים וחיתוכים כל שהם
מוטיבציה: הגדרנו את החיתוך והאיחוד עבור שתי קבוצות. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד יותר קבוצות, לדוגמא נרצה לדבר על חיתוכן של 17 הקבוצות [math]\displaystyle{ A_1,A_2,\ldots,A_{17} }[/math]. מכיוון שחיתוך ואיחוד הן פעולות אסוציטיביות, ניתן לרשום [math]\displaystyle{ A_1\cap A_2\cap \ldots\cap A_{17} }[/math], וזה ביטוי חד משמעי. אך צורת רישום זו היא ארוכה, ולכן אנו מסמנים את החיתוך הזה בקיצור הבא: [math]\displaystyle{ \bigcap _{i=1} ^{17} A_i }[/math]. לעיתים נרצה לחתוך או לאחד אוסף אינסופי של קבוצות, ולכך באה ההכללה הבאה:
הגדרה: יהיו [math]\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I} }[/math] אוסף קבוצות כאשר [math]\displaystyle{ I }[/math] הוא קבוצת אינדקסים אזי נגדיר את האיחוד והחיתוך של אוסף הקבוצות כך:
[math]\displaystyle{ \bigcup _{i\in I} A_i := \{x| \exist i\in I :x\in A_i \} }[/math]
[math]\displaystyle{ \bigcap _{i\in I} A_i := \{x| \forall i\in I :x\in A_i \} }[/math]. כאן יש להניח שקבוצת האינדקסים [math]\displaystyle{ I }[/math] לא ריקה.
דוגמא:
נגדיר [math]\displaystyle{ \forall n\in \mathbb{N}\cup \{0\} \; A_n:=(n,n+1) \cup (-n-1,-n) }[/math] אזי
א. [math]\displaystyle{ \bigcup _{n\in \mathbb{N}} A_n = \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Z} }[/math]
ב. [math]\displaystyle{ \bigcap _{n\in \mathbb{N}} A_n = \varnothing }[/math]
ג. נגדיר [math]\displaystyle{ B_n=\mathbb{R}\smallsetminus A_n }[/math]. חשבו את [math]\displaystyle{ \bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n }[/math]
הוכחה:
א. ע"י הכלה דו כיוונית.
ב. מספיק להראות [math]\displaystyle{ A_1\cap A_2=\phi }[/math].
ג. נתייחס ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] כקבוצה האוניברסלית לדיוננו. לפי דה-מורגן נקבל:[math]\displaystyle{ \bigcap_{n\in \mathbb{N}} B_n=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n^c=(\bigcup_{n\in \mathbb{N}} A_n)^c=(\mathbb{Z}^c)^c=\mathbb{Z} }[/math].